Ich habe folgendes Thema:
Ich weiss, das bei einer Diagonalmatrix das Carley-Hallington-Theorem gelten, soll. D.h. sei D eine Diagonalmatrix, so gilt xD(D) = 0. Ist ja auch einfach zu zeigen. Dafür konstruiert man eine beliebige (n x n)-Diagonalmatrix
D = diag(d1,…,dn) und dann ist ja das charakteristische Polynom xD(t)
= (d1-t)…(dn-t) und wenn man da D einsetzt, kommt die Nullmatrix raus.
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Nun soll ich aber zeigen, das das Theorem für alle diagonalisierbare Matrizen gilt.
Meine Beweisidee:
Sei A eine beliebige q. Matrix.
A ist diag. => Es ex. inv. Matrix T mit
A = TDT^-1, wobei D := diag(d1,…,dn) eine Diagonalmatrix ist.
Dann gilt auch für das charakteristische Polynom xA(t) = xD(t) = (d1-t)…(dn-t).
(Wurde schon in der VL gezeigt)
Also folgt:
xA(A) = xA(TDT^-1) = T xA(D) T^-1
= T xD(D) T^-1 = 0,
da xD(D) = 0 ist nach der davorigen Aussage (s.o.).
Meine Frage:
Ist das so korrekt? Ich bedanke mich im voraus.
LG,
Tanja
