Hi, eine reelle Matrix ist normal wenn gilt $$ A^{t} A = A A^{t} $$ Durch einfaches nachrechnen kann man bestätigen, dass \( A \) nicht normal ist.
Um die Eigenwerte der Matrix \( A \) auszurechnen muss man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $$ \det(A-\lambda \cdot I_2) = 0 $$ bestimmen. Man erhält \( \lambda_1 = 3 \) und \( \lambda_2 = 6 \) als Lösung.
Für \( A^2 \) ergibt sich \( A^2 v = A \cdot A \cdot v = A \cdot \lambda \cdot v = \lambda^2 \cdot v \), also sind Eigenwerte von \( A^2 \) die Quadrate der Eigenwerte von \( A \), man erhält \( \lambda_1 = 9 \) und \( \lambda_2 = 36 \)
Für \( A^{-1} \) ergibt sich aus \( A^{-1} v = \mu v \) durch Multiplikation der Gleichung mit \( A \) das gilt \( Av = \frac{1}{\mu} \) gilt, also sind die Eigenwerte von \( A^{-1} \) gleich \( \frac{1}{\lambda} \)
Wenn \( v \) ein Eigenvektor von \( A \) ist dann gilt \( (A^2-2A+I_2)v = \lambda^2v-2\lambda+v = (\lambda^2-2\lambda+1)v \) also sind \( \lambda^2-2\lambda+1 \) die Eigenwerte.
Zur letzten Aufgabe, wenn man die Eigenvektoren von \( A \) berechnet hat, ist die gesuchte Matrix \( T \) die Matrix, die die Eigenvektoren von \( A \) als Spalten enthält.
