Hat mein Professor die Standardabweichung richtig berechnet?

Question

Aufgabe:

Sind die folgenden Daten eng oder breit gestreut?
12/15/11/7/9/4

Problem/Ansatz:

1. Arithmetisches Mittel berechnen:

12+15+11+7+9+4:6 =9,45

2. Standardabweichung bestimmen:

s²(12-9,67)²+(15-9,67)²+(11-9,67)²+(7-9,67)²+(9-9,67)²+(4-9,67)²:6 = 12,5²

3. Standardabweichung quadrieren:

s=3,54 <-- durchschnittlicher Abstand von Mittelwert gesehen

4. Variationskoeffizienten bestimmen

v=s/ x = 3,54/9,45

v= 0,37%

Somit ist eine breite Streuung gegeben.

Mein Professor hat für die Standardabweichung 15,56 draußen, liegt er falsch?

Comments

Also mit

12+15+11+7+9+4:6 =9,45

liegst eher Du falsch.

Mit

3,54/9,45 ... = 0,37%

auch. Denn 0,37 % = 0,37 / 100 = 0,0037.

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Mein Professor hat für die Standardabweichung 15,56 draußen, liegt er falsch?

Könntest du nochmal die Angabe des Professors prüfen. Vermutlich ist eine Varianz gemeint und dann hat er oder du den Wert falsch notiert.

Eine Varianz von 12.56 oder eine korrigierte Stichprobenvarianz von 15.07 wären hier nach meinem Taschenrechner richtig.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist die Stichprobe \(M=\{12,15,11,7,9,4\}\) von der Größe \(n=6\).

Für den Mittelwert erhalten wir:$$\overline m=\frac1n\sum\limits_{k=0}^nx_k=\frac{12+15+11+7+9+4}{6}=\frac{58}{6}=\frac{29}{3}=9,\overline 6$$

Für die Varianz der Stichprobe gilt:$$V(M)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\overline x)^2=\frac{1}{6-1}\cdot\frac{226}{3}=\frac{226}{15}=15,0\overline6$$Der Nenner \((n-1)\) berücksichtigt, dass der Mittelwert \(\overline x\) der Stichprobe nur eine Näherung für den exakten Erwartungswert \(\mu\) ist, und die entsprechende Abweichung auf die Varainz durchschlägt.

Der Variationskoeffizient beträgt daher:$$\kappa=\frac{\sqrt{V(M)}}{\overline x}\approx0,4015=40,15\%$$

Es liegt also eine breite Streuung vor.

Answer 2

Mein Professor hat für die Standardabweichung 15,56 draußen, liegt er falsch?

Ja. Auch der Taschenrechner kommt näherungsweise auf eine Standardabweichung von σ = 3.54

Comments

Hier noch eine Antwort von ChatGPT

Um die statistischen Kenngrößen für die gegebene Datenreihe zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Mittelwert (arithmetisches Mittel):
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

\( \text{Mittelwert} \, \mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \)

Für die Datenreihe 12, 15, 11, 7, 9, 4:
\( \mu = \frac{12 + 15 + 11 + 7 + 9 + 4}{6} \)

2. Standardabweichung:
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Datenwerte um den Mittelwert. Sie wird wie folgt berechnet:

\( \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}} \)

3. Variationskoeffizient:
Der Variationskoeffizient ist das Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert, multipliziert mit 100, um einen Prozentsatz zu erhalten:

\( \text{Variationskoeffizient} = \frac{\sigma}{\mu} \times 100 \% \)

Wir werden diese Berechnungen Schritt für Schritt durchführen. Ich werde das jetzt berechnen.

Hier sind die berechneten statistischen Kenngrößen für die gegebene Datenreihe \(12, 15, 11, 7, 9, 4\):

a) Mittelwert (arithmetisches Mittel): \(\mu = 9.67\) (gerundet auf zwei Dezimalstellen)

b) Standardabweichung: \(\sigma = 3.54\) (gerundet auf zwei Dezimalstellen)

c) Variationskoeffizient: \(36.66\%\) (gerundet auf zwei Dezimalstellen)

Diese Werte geben einen Überblick über die zentrale Tendenz (Mittelwert) und die Streuung (Standardabweichung und Variationskoeffizient) der Datenreihe.

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Warum postest du falsche Antworten von ChatGPT hier rein?

Hier muss die empirische Varianz verwendet werden, da es sich um eine Stichprobe handelt.

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Das es sich um eine Stichprobe handelt hast du frei interpretiert.

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Nein, das habe ich nicht frei interpretiert. Wäre es eine vollständige Verteilung wäre die Eintrittswahrscheinlichkeit der Werte angegeben oder zumindest gesagt, dass sie alle mit derselben Wahrscheinlichkeit eintreten. Ohne diese Angabe kann man nicht überprüfen, ob sich die Wahrscheinlichkeiten zu Eins addieren. Daher muss man von einer Stichprobe ausgehen.

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Wäre es eine vollständige Verteilung wäre die Eintrittswahrscheinlichkeit der Werte angegeben.

Das sehe ich anders, aber damit belasse ich es auch.