Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn jede Person höchstens einen Gewinn erhalten darf?

Question

Bei einem Preisausschreiben haben 50 Personen die richtige Lösung eingesendet. Unter ihnen sollen eine Urlaubsreise nach Italien und eine Urlaubsreise nach Mexiko, sowie 4 Fahrräder und 6 Bücher ausgelost werden.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn jede Person höchstens einen Gewinn erhalten darf?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn keine Einschränkung besteht, also auch Mehrfachgewinne möglich sind?

c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn vorläufig nur eine Menge von Gewinnern ausgelost wird und die Art des Gewinns noch keine Rolle spielt.

d) Die 12 Gewinner treffen sich zu einem späteren Zeitpunkt. Nun wird die Art des GEwinns ausgelost. Zunächst ziehen 5 Gewinner aus einer Trommel ihren Gewinn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind dann eine Urlaubsreise und ansonsten nur Bücher ausgelost

Bei a) habe ich 50 über 12 als Lösung

Bei b) habe ich 61 über 49 als Lösung (Binomialkoeffizient ohne Zurücklegen, bei dem die Reihenfolge keine Rolle spielt), also n+k-1 über n-1

Aber c) verstehe ich nicht, ist nicht schon a) die Lösung zu c)?
Hat jemand einen Ansatz für d)

Comments

Auf welchem Niveau soll die Aufgabe sein? Wenn man es sich einfach machen will, dann kann man alle 12 Gewinne voneinander unterscheiden. Z.B. die Bücher durch ihre Titel und die Fahrräder durch Farbe, Marke etc.

So wie es dort steht, muss man davon ausgehen, dass Fahrräder und Bücher im Zweifel nicht unterscheidbar sind und das macht in der Berechnung bei a) und bei b) schon einen deutlichen Unterschied.

So lässt sich z.B. nicht mehr einfach nur mit den trivialen Formeln rechnen, die man normalerweise in der Kombinatorik gelernt hat, sondern muss etwas mehr Kreativität an den Tag legen.

Bei Bedarf sollte man dort im Studium mit dem Übungsleiter oder Dozent einmal kurz Rücksprache halten.

Answer 1

Aber c) verstehe ich nicht, ist nicht schon a) die Lösung zu c)?

Richtig. Deine Lösung zu a) ist die Lösung für c). Bei a) spielt es zusätzlich eine Rolle, wer welchen Gewinn bekommt. Da reicht die Auswahl 12 aus 50 also nicht aus, bei c) hingegen schon. Multipliziere bei a) also das Ergebnis noch mit \(\frac{12!}{4!6!}\) für die Reihenfolgen.

d) lässt sich ganz leicht mit einem Baumdiagramm lösen.

Comments

Danke, aber wieso spielt bei a) die Reihenfolge eine Rolle`?

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Du wählst erst 12 Personen aus. Das geht über den Binomialkoeffizienten. Jetzt verteilst du diese Gewinne aber noch auf verschiedene Möglichkeiten (Reihenfolgen) innerhalb dieser Gruppe (hypergeometrische Verteilung).

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Hast du eine Idee für c)?

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Deine Lösung zu a) ist die Lösung für c).

Habe ich schon geschrieben. :)

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Ich meinte b)

Bei d) habe ich jetzt folgendes:
Ist ja erstmal egal, ob Mexiko oder Italien

Folgende Kombis sind denkbar

UM = Urlaub Mexiko

UI = Urlaub Italien

UM - B - B - B - B

UI - B - B - B - B

B - UM - B - B - B

B - UI - B - B - B

da ohne Zurücklegen gezogen wird, gilt

P(E) = (1/12*6/11*5/10*4/9*3/8)*2 + 6/12*1/11*5/10*4/9*3/8)*2

gibt es da eine Abkürzung?

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Es reicht hier, mit U und B zu arbeiten. Für U ist dann die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{12}\). Und dann gibt es 5 Reihenfolgen. b) passt so, wie du es hast.

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Spielt bei b) die Reihenfolge nicht auch eine Rolle? Wie kann man den Mehrfachgewinn mathem. ausdrücken?

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Stelle dir die 50 Personen als Fächer vor, in die du 11 Bälle aufteilen möchtest. Das geht dann mit deiner Formel. Aber stimmt, hier müssen wir auch noch die Arten der Gewinne unterscheiden...

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Könntest du noch einmal genau beschreiben, was bei b) gemacht werden muss

Ohne Beachtung der Reihenfolge?

Ohne Zurücklegen?

Answer 2

d) 2/12*6/11*5/10*4/9*3/8*(5über1)

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Wieso ist das so?