Für eine Funktion f : U -> R, die differenzierbar sein soll in U, wobei ein Intervall aus R ist, sollte ich zeigen:
Die Ableitung f‘ ist beschränkt => f ist Lipschitz-stetig.
Meine Idee: Da f ja in U differenzierbar ist, ist dann auch die Einschränkung f | (x,y)∪(y,x) differenzierbar für jedes x,y aus U.
D.h. vorallem [x,y]∪[y,x] ist stetig. Nach dem Mittelwertsatz, gibt es ja dann ein ξ aus (x,y)∪(y,x) mit f‘(ξ) = f(x)-f(y)/ x-y. Da f‘ nach Annahme beschränkt ist, gibt es ein c > 0, s.d. für jedes x aus U: |f‘(x)| ≤ c gilz. Insbesondere dann auch |f‘(ξ)| ≤ c.
Wähle nun c als die Lipschitzkonstante, also c := L, so gilt dann für jedes x und y aus U:
|f(x) - f(y)| = |f(x)-f(y)| / |x-y| * |x-y| = f‘(ξ) |x-y| ≤ L |x-y|. Das war ja dann zu zeigen.
(Anmerkung: Da f in U diffbar ist, können wir ja für jedes x,y aus U dieses ebenso diffbare Teilintervall konstruieren und nach dem MWS wird es dann auch in jedem davon diesen Skalar geben)
Ist das richtig? (Falls falsch, bitte keine Lösung, aber über Tipps würde ich mich dann freuen :) )
