Isometrische Einbettung von kompaktem metrischen Raum in Banach-Raum

Question

Ein metrischer Raum \( X \) heißt separabel, falls es eine abzählbare Tielmenge \( D \subseteq X \) gibt, die dicht ist (d.h, zu jedem \( x \in X \) und jedem \( \varepsilon>0 \) gibt es ein \( y \in D \) mit \( d(x, y)<\varepsilon \) ). Sei \( (X, d) \) ein kompakter metrischer Raum und sei \( \ell_{\infty} \) der Banachraum aller beschränkten Folgen \( \left(x_{n}\right) \) in \( \mathbb{C} \) mit der Supremumsnorm ).

Zeigen Sie:

Es existiert eine isometrische Abbildung \( X \rightarrow \ell_{\infty} \).

Problem: Ich bekomme erstens nicht wirklich eine Idee wie ich die Abbildung definieren soll und zweitens würde ich auch ein Problem haben, beim nachprüfen der Isometrie, weil ich ja nichts über die Supremumsnorm weiß, da sie ja schließlich dann auch durch eine beliebige Norm definiert ist.
Der Aufgabe nach zu urteilen wird man wahrscheinlich irgendwie die Menge D mit der Folge in Verbindung setzen da diese ja abzählbar ist aber ich weiss auch nicht weiter

Comments

Da dein metrischer Raum \((X,d)\) als kompakt vorausgesetzt wurde, ist er auch separabel. Es existiert also eine abzählbare Menge \(D=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots\}\subseteq X\), die dicht in \(X\) ist.

Eine denkbare Abbildung wäre doch \(\Psi:X\to\ell^\infty\) gegeben durch \(\Psi(x)=(d(x,\alpha_n))_{n\in\mathbb{N}}\), also die übergebenen Informationen sind die Abstände von \(x\) zu jedem Punkt von \(D\), aufgefasst als Folge.

Rein intuitiv ist es doch einleuchtend: Wenn du die Abstände jedes Punkts von \(X\) zu jedem Punkt von \(D\) kennst, dann musst du die gesamte Metrik rekonstruieren können. Hast du nämlich zwei Punkte \(x,y\), dann kannst du dir eine Folge \(D\ni (d_1,d_2,\ldots )\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}y\) nehmen, und weißt dann \(d(x,y)=\lim\limits_{n\to\infty}d(x,d_n)\). Die Informationen in \(\Psi\) müssen also ausreichen, um \(X\) korrekt abzubilden.

Soviel zum "Handwaving", auf zum Beweisen!

1. Wieso ist das eine wohldefinierte Abbildung in \(\ell^\infty\), i.e. wieso ist das eine beschränkte Folge?

2. Wieso ist diese Abbildung stetig?

3. Wieso ist das eine isometrische Einbettung?

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Zusatz: Ich bin mir nicht mehr ganz sicher (ist schon spät), aber eventuell musst du noch dazu codieren, wie die Punkte in \(D\) zueinander stehen, also sowas wie \(\Psi(x)=(d(x,x_n)-d(x_n,x_1))_{n\in\mathbb{N}}\). Ich bin mir nicht mehr sicher, ob das nötig ist, aber ich meine mich daran zu erinnern, dass man das irgendwo down the road noch braucht. Falls du selbst dazu noch etwas recherchierst, such mal nach "Frechet-Kuratowski embedding".

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Zusatz 2 (ist mir gerade eingefallen, als ich nicht mehr bearbeiten konnte): Version 1 sollte funktionieren, weil \((X,d)\) als kompakt vorausgesetzt wurde, der zweite Kommentar ist also Stuss. Die zweite Version der Abbildung braucht man, wenn man nur von Separabilität ausgeht, dann wäre nämlich die Abbildung in der ersten Version nicht beschränkt. Mit der zweiten Version garantiert man dann, dass alle Einträge \(\leq d(x,\alpha_1)\) sind. Die Distanzen sind aber die gleichen.