Fehlende Beispiele Ana 3

Question

Hallo, ich versuche gerade Ana 3 besser zu verstehen und wollte fragen ob jemand gute Beispiele zu einigen Sätzen kennt:
Eine Folge von stetigen Funktionen fn : [0, 1] → R≥0, welche
punktweise gegen eine stetige Funktion f : [0, 1] → R≥0 konvergiert, aber so dass

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \int\limits_{[0, 1]}^{} \)  f_n dλ ≠ \( \int\limits_{[0, 1]}^{} \) f dλ

und

Es gibt einen Maßraum (Ω,A,µ) und eine Funktion f : Ω → R≥0,
so dass f ∈ L²(Ω; µ), aber f ∉ L¹ (Ω; µ)

Leider wurde das in der Vorlesung einfach als selbstverständlich hingeschrieben, Beispiele zum Verständnis wären toll :/

Answer 1

Zu deiner ersten Frage: Die Funktionen \( f _{ n} ( x)  = n\mathbf{1}_{ [ 0, 1 / n] }  \) konvergieren Punktweise gegen die Nullfunktion, jedoch gilt
\(\begin{aligned} \int_{ [ 0 , 1] }^{ } f _{ n} \, d\lambda   = \int_{ [ 0, 1] }^{ } n \mathbf{1}_{ [ 0, 1 / n]  } \, d\lambda = 1 \neq 0 . \end{aligned}\)
Es ist dann klar, dass man das Beispiel in ein stetiges umwandeln kann, mit der gleichen Eigenschaft (nur wird das Integral von \( f_{ n}  \) nicht umbedingt genau \( 1 \) sein).

Für deine zweite Frage kannst du einfach die Funktion \( 1 / x \) auf dem Massraum \( [ 1, +\infty ]  \) mit dem Lebesgue Mass.

Comments

Hallo, erst mal danke für die schnelle Antwort aber was meinst du mit n1?

---

Das ist einfach die Indikatorfunktion:

\(\begin{aligned} \mathbf{1}_{ A} (x)= \begin{cases}   1, & x \in A   \\   0, & x \not\in A \end{cases} \end{aligned}\)

Answer 2

Es gibt einen Maßraum (Ω,A,µ) und eine Funktion f : Ω → R≥0,
so dass f ∈ L2(Ω; µ), aber f ∉ L1 (Ω; µ)

Betrachte \(f(x)=\frac{1}{x}\) auf \([1;\infty)\).

Ein Studium besteht unter anderem auch darin, selbstständig ergänzende Literatur zu lesen und zu recherchieren. Das kann mitunter sehr lehrreich sein und sehr viel zum Verständnis beitragen.