Grenzwerte von Integralen berechnen

Question

Aufgabe:

1. \( \lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \int \limits_{-1}^{1} e^{\frac{x^{2}}{n}} d x \),
2. \( \lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{\int \limits_{0}^{y}(x+y) \sin \left(x^{2}\right) d x}{y^{4}} \),
3. \( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x y} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe nicht genau verstanden, wie man hier vorgeht. Wendet man hier Dinge, wie den Satz v. der monotonen/majorisierten Konvergenz oder das Lemma v. Fatou an? Oder macht man etwas grundsätzlich anderes? Ich würde mich sehr über Antworten freuen :)

Comments

Vorschlag zu (1): Für alle \(n\in\mathbb N\) und \(x\in\mathbb R\) mit \(\lvert x\rvert\le1\) gilt
\(\displaystyle1\le\mathrm e^\frac{x^2}n\le\mathrm e^\frac1n\) und damit \(\displaystyle2=\int_{-1}^11\,\mathrm dx\le\int_{-1}^1\mathrm e^\frac{x^2}n\,\mathrm dx\le\int_{-1}^1\mathrm e^\frac1n\,\mathrm dx=2\mathrm e^\frac1n\).

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Danke dir, ich hätte aber noch ein paar Fragen dazu. Die Fragen sind vielleicht etwas lang, aber es wäre mir wirklich sehr wichtig und es würde mich freuen wenn du sie alle bis zum Ende durchliest und vielleicht auch beantworten könntest :)

Und zwar in deinem Fall kann man am Ende ja den Limes anwenden, da das Integral nicht mehr im Weg steht oder?

Und reicht hier die Abschätzung kleiner/gleich 2 als Ergebnis?

Allgemein noch, kann man überall wo Limes steht den Limes durch ein Limes inferior ersetzen? Also beispielsweise lim (x -> unendl.) x^2 =

lim inf (x -> unendl.) x^2 ?

So könnte man ja das Lemma von Fatou anwenden oder nicht? Denn er besagt ja, dass wenn fn(x) für jede positive ganze Zahl n messbar ist, dass man dann den Limes inferior reinziehen kann und das Ergebnis dann kleiner/gleich das Ergebnis ist, wo der Limes inferior draußen stand.

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Das Lemma von Fatou kenne ich leider nicht. Wenn \(a_n\) eine reelle Folge mit \(2\le a_n\le2\mathrm e^\frac1n\) ist, folgt \(\lim a_n=2\) nach dem Sandwichsatz.

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Das Lemma von Fatou liefert doch nur eine Ungleichung. Arsinoe4 hat schon durch elementare Abschätzungen den Grenzwert bestimmt. Im übrigen braucht man hier nicht auf die Lebesgue-Theorie zurückgreifen. Da die Konvergenz \(\exp(x/n) \to 1\) auf dem Intervall [-1,1] gleichmäßig ist, folgt die Aussage schon aus den Grenzwertsätzen für das Riemann Integral.

Zu 2) Hier liegt ein Problem vom Typ 0/0 vor. Das kann man mit der Regel von l'Hospital angehen.

Zu 3)Hier kann man zu Polarkoordinaten übergehen und dann \(a^b=\exp(b \ln(a))\) benutzen.