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ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß nicht genau, wie ich das angehen soll, weil sich der Grenzwert ja von bisher bekannten unterscheidet, und ich nicht wirklich aussagekräftige Beispiele dazu habe. Bild Mathematik

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Hallo,

zu a) siehe hier.

zu b): Es gilt für alle \(x\in[1,\infty):\,\,f_n(x) \overset{n\to\infty}{\to} e^{-x/2}\), wobei

\(f_n:\,[1,\infty) \to \mathbb{R}, \,f_n(x) = (1- \frac{x}{2n} )^n\cdot \mathbb{1}_{[1,n]}(x), \,n\in\mathbb{N} \).

Weiter gilt für alle \(n\in\mathbb{N}\): \(|f_n(x)| = |(1- \frac{x}{2n} )^n\cdot \mathbb{1}_{[1,n]}(x)| = (1- \frac{x}{2n} )^n\cdot \mathbb{1}_{[1,n]}(x)\leq e^{-x/2}\) für alle \(x\in[1,\infty)\). Da \(\int_{[1,\infty)}e^{-x/2}d\lambda^1(x)  = 2/\sqrt{e}\ < \infty\) folgt mit dem Satz von Lebesgue

\(\lim_{n\to\infty}\int_{[1,\infty)}f_n(x)1_{[1,n]}d\lambda^1(x) = \int_{[1,\infty)}e^{-x/2}d\lambda^1(x) = 2/\sqrt{e} \)

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