Partielle Differenzierbarkeit ist die Aufgabenstellung falsch?

Question

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f(0,0)=0 \) und

\( f(x, y)=x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \quad \text { für }(x, y) \neq(0,0) . \)

Zeigen Sie, dass \( f \) überall zweimal partiell differenzierbar ist, dass aber
\( \frac{\partial^{2} f}{\partial x \dot{\partial} y}(0,0) \neq \frac{\partial^{2} f}{\partial y \dot{\partial x}}(0,0) \)

Bin ich öde? aber es ist doch 0 und 0 was gleich ist, wie soll denn da nicht 0 rauskommen wenn man x*y rechnent und eins davon immer 0 ist

Comments

Es geht aber um mögliche(!) partielle Ableitungen, nicht um den Funktionswert. Hier müssen Differenzenquotienten angesetzt werden, lass mal sehen, wie Du das gemacht hast.

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also gerade beim differenzquotienten ist1/h (f(h,0)-f(0,0) ) ist es einfach 1/h * 0. Und wenn ich die partiellenableitungen normal berechne mit (x,y) dann steht im nenner immer 0. was ist mit mögliche partielle ableitungen gemeint

Text erkannt:

\( \frac{x^{6}+9 x^{4} y^{2}-9 x^{2} y^{4}-y^{6}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} \)

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"möglich", weil man ja noch nicht weiß, welche partiellen Ableitungen existieren. Und im Nenner kann gar nicht 0 stehen, weil die Funktion so nicht definiert ist.

Also fang an, und schreib es geordnet auf, für welche (x,y) erhältst Du welche partielle Differenzierbarkeit usw.. Nicht nur so'n Häppchen. Dann schauen wir mal weiter.

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tut mir leid ich hab mich ziemlich dumm angestellt , habs jetzt verstanden