Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum Yoneda-Lemma und einem speziellen Homomorphismus in der Kategorie der Ringe.
Gegeben sei eine Kategorie \( C \) und zwei Objekte \( X, Y \in \text{Ob}(C) \). Es gibt einen Morphismus von Funktoren
$$ \varphi : \text{Hom}_C(Y, -) \rightarrow \text{Hom}_C(X, -) $$
sodass für alle \( T \in \text{Ob}(C) \) die Abbildung
$$ \varphi(T) : \text{Hom}_C(Y, T) \rightarrow \text{Hom}_C(X, T) $$
und für alle \( f : T \rightarrow T' \) das folgende Diagramm kommutiert:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Hom}_C(Y, T) & \xrightarrow{\varphi(T)} & \text{Hom}_C(X, T) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \text{Hom}_C(Y, T') & \xrightarrow{\varphi(T')} & \text{Hom}_C(X, T') \end{array} $$
Dann existiert ein eindeutiger Morphismus \( f \in \text{Hom}_C(X, Y) \), sodass
$$ \varphi = - \circ f $$
das heißt, für alle \( T \in \text{Ob}(C) \) und \( g \in \text{Hom}_C(Y, T) \) gilt
$$ \varphi(g) = g \circ f $$
Nun zur spezifischen Frage: In der Kategorie der Ringe (also \( C = \text{Ring} \)) haben wir gesehen, dass für alle Ringe \( R \) gilt:
$$ \text{Hom}_C(\mathbb{Z}[x, x^{-1}], R) = R^* $$
und ebenso für den Ring
$$ \mathbb{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[x, x^{-1}] = \mathbb{Z}[x, x^{-1}, y, y^{-1}] $$
dass
$$ \text{Hom}_C(\mathbb{Z}[x, x^{-1}, y, y^{-1}], R) = R^* \times R^* $$
Die Multiplikation \( \cdot : R^* \times R^* \rightarrow R^* \) definiert also einen Funktor
$$ \cdot : \text{Hom}_C(\mathbb{Z}[x, y, x^{-1}, y^{-1}], -) \rightarrow \text{Hom}_C(\mathbb{Z}[x, x^{-1}], -) $$
Entsprechend dem Yoneda-Lemma entspricht dies einem Ringhomomorphismus
$$ \mathbb{Z}[x, x^{-1}] \rightarrow \mathbb{Z}[x, x^{-1}, y, y^{-1}] = \mathbb{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[x, x^{-1}]. $$
Kann mir jemand helfen, diesen Homomorphismus explizit anzugeben?
Vielen Dank im Voraus!
