Berechnung in den 5-adischen Zahlen und Isomorphismus der inversen Limiten

Question

Ich habe eine Frage zu den 5-adischen Zahlen und den inversen Limes:

1. Wie zeigt man, dass es in den 5-adischen Zahlen ein Element \( i \in \mathbb{Z}_5 \) gibt, sodass \( i^2 = -1 \)?

2. Wie kann man zeigen, dass der inverse Limes $$ \lim_{\leftarrow} \mathbb{Z}/(10^n \mathbb{Z}) \cong \lim_{\leftarrow} \mathbb{Z}/(2^n \mathbb{Z}) \times \lim_{\leftarrow} \mathbb{Z}/(5^n \mathbb{Z}) \, (\cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5) $$ gilt? Warum sind die p-adischen Zahlen besonders dann von Interesse, wenn p eine Primzahl ist?

Comments

Zu 1) du musst doch nur 3 Zahlen ausprobieren?

lul

Answer 1

-1 entspricht 4 und entspricht auch 9 mod 5. Damit gilt

2²≡ -1 mod 5 und auch 3²≡ -1 mod 5.

Comments

Unter p-adischen Zahlen versteht man im Normalfall etwas anderes:

https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number