Berechnen Sie die Transitionsmatrix \boldsymbol{\Phi}(t) .

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ein System sei durch die folgende Differentialgleichung 3. Ordnung beschrieben.
\( \frac{d^{3}}{d t^{3}} y(t)+3 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y(t)+2 \frac{d}{d t} y(t)=u(t) \)

Berechnen Sie die Transitionsmatrix \( \boldsymbol{\Phi}(t) \).
Endergebnis: \( \boldsymbol{\Phi}(t)=\left(\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2}-2 e^{-t}+\frac{1}{2} e^{-2 t} & \frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2} e^{-2 t} \\ 0 & 2 e^{-t}-e^{-2 t} & e^{-t}-e^{-2 t} \\ 0 & -2 e^{-t}+2 e^{-2 t} & -e^{-t}+2 e^{-2 t}\end{array}\right) \)

Ich verstehe leider nicht, wie ich auf die Lösung kommen kann?

Es gesucht ist also (sI-A)^-1 und davon Laplace-Rücktransformation ergibt phi(t)!

Ich habe für die Systemmatrix:

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & -3 \end{pmatrix} \)

(sI-A) = \( \begin{pmatrix} s & -1 & 0 \\ 0 & s & -1 \\ 2 & 0 & s+3  \end{pmatrix} \)  

(sI-A)^-1 = 1/2 : \( \begin{pmatrix} s(s+3) & -2 & -2s \\ -s-3 & -s(s+3) & 2 \\ -1 & -s & -s^2 \end{pmatrix} \) 

Wenn ich dies Laplace Rücktransformiere, passt das keinerlei mit dem Endergebnis! Ich suche seit Stunden den Fehler?

Comments

Überprüfe die letzte Zeile von A.

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Hat sich Deine Frage erledigt?

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Nein! Die Systemmatrix ist nach der Regelungsnormal aufgestellt worden. Ich sehe keinen Fehler!

Answer 1

Ich würde die Differentialgleichung wie folgt in ein System umwandeln: Wir führen einen Vektor ein mit

$$\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} y\\y' \\y''\end{pmatrix}$$

Dann lautet das Differentialgleichungssystem

$$\begin{pmatrix} y_1'\\y_2'\\y_3' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_2\\y_3\\-3y_3-2y_2+u \end{pmatrix}$$

Bei einem groben Blick auf die weiteren Schritte scheint das zu Deiner Lösung zupassen.

Comments

Aber dennoch komme ich nicht auf das Endergebnis!

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Dann kannst Du vielleicht mal Deine Zwischenergebnisse posten

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hab ich doch?

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Mein Kommentar sagt doch, dass ich eine andere Matrix A erhalte als Du.