Ist die Gruppe (Z,+) eine nilpotente Gruppe?

Question

Aufgabe:

Ist die Gruppe (Z,+) eine nilpotente Gruppe?

Problem/Ansatz:

Die Gruppe (Z,+) ist ja abelsch, und jede abelsche Gruppe ist ja auch nilpotent. Wie kann ich das argumentieren bzw. zeigen, das die Gruppe dann nilpotent ist?

Freue mich über eure Hilfe!

Comments

Die absteigende Zentralreihe ist definiert als$$L_0:= G$$ $$L_{n+1} := [L_n, G]$$eine Gruppe G heißt nilpotent, wenn ein Index n existiert s.d. \( L_n \) die triviale Untergruppe {e} ist.

Für abelsche Gruppen gilt offensichtlich schon \( L_1=[G,G]=\{e\}\).

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Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe nur gemerkt, das ich das mit der zentralreihe irgendwie noch nicht verstanden habe... kannst du mir das eventuell irgendwie anschaulich zeigen mit den Elementen aus der Gruppe (Z,+) oder gern auch für eine andere? Beispielsweise ist das inverse Element von 1  ja -1 , weil -1+1=0, und das neutrale element ja 0, weil 1+0=0+1=1. Geht das oder so ähnlich mit der zentralreihe zu zeigen? Darüber würde ich mich sehr freuen...^^

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Für Teilmengen A, B einer Gruppe G ist

$$ [ A, B ] := \langle [a, b] : a\in A, b\in B \rangle $$

Die Untergruppe die von den Kommutatoren erzeugt wird. In (ℤ,+) ist eben

$$ [ a, b ] = a+b-a-b = 0 \quad \forall a,b \in \mathbb Z $$

Somit [ℤ,ℤ]={0}.

Betrachte jetzt mal selbst die symmetrische Gruppe \( (S_3,\circ)\). Der Kommutator dort ist gegeben durch

$$ [ \sigma, \tau ] = \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} \circ \tau^{-1} $$

Berechne da mal selbst \( L_1 = [S_3,S_3] \). Da die Gruppe nicht abelsch ist, wird dabei nicht {id} herauskommen. Berechne dann zB auch noch \( L_2 \). Dann solltest du sehen, dass \( S_3 \) nicht nilpotent ist.

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Hm... S₃ ist ja die symmetrische Gruppe auf drei Elementen und enthält 6 Elemente: S₃ = {id, (12),(13),(23),(123),(132)}, also id kommutiert mit allen anderen Elementen, aber beispielsweise (12)*(13) =(132) und (13*12)=(123), also (12)*(13) ≠ (13)*(12) also kommutieren nicht... genau wie alle anderen Element auch nicht außer id. Also bedeutet das wie du oben definiert hast, die untere zentrale Reihe beginnt mit der gesamten Gruppe und reduziert sich dann schrittweise durch das Zentrum: L₀ = S₃; L₁ = L(L₀)=L(S₃)={e}, also wie du oben definiert hast für nilpotente Gruppen?
Überprüft man aber den Quotienten: L0/L1 = S3/{e} stellt man fest, dass der nicht trivial ist, da S3 weiterhin aus 6 Elementen besteht? Somit ist L₀ = S³ und L₁=S₃ und L₂=S₃? Da man ja für jedes Element immer eine andere Identität benötigt um sie als Kommutator darzustellen...also findet keine reduzierung der Zahlenreihen statt, weil die Gruppe ja immer sie selbst bleibt? schöner habe ich es jetzt nicht hinbekommen, vll kannst du mir das ja noch mal schön und einfach verständlich zeigen? ;)

Answer 1

Die Gruppe (Z,+) ist ja abelsch, und jede abelsche Gruppe ist ja auch nilpotent. Wie kann ich das argumentieren bzw. zeigen, das die Gruppe dann nilpotent ist?

Logik, genauer gesagt Modus ponens.