Vielen Dank für die super Antwort! Der Tipp mit den abelschen Gruppen ist gut, das wurde auch so in der Art vorgegeben... ich hatte vll gedacht, nochmal mit der Definition von Gruppen einzusteigen und das am Beispiel der ganzen Zahlen kurz zu zeigen und dann davon zu den abelschen Gruppen zu gehen und das anhand der Gruppe (Z,+) zu zeigen und laut definition sind ja alle abelschen gruppen nilpotent und jetzt wollte ich das dann auch für (Z,+) zeigen, aber weiss nicht genau wie...
Wäre das hier etwas?
Beweis, dass
(Z,+) nilpotent ist:
Untere Zentralreihe für (Z,+):
Starten wir mit Z0(Z)=Z.
Erstes Zentrum Z1(Z):
Da Z abelsch ist, gilt für alle a,b∈Z, dass a+b=b+a.
Das Zentrum einer Gruppe Z(G) ist die Menge aller Elemente, die mit allen anderen Elementen der Gruppe kommutieren. In einer abelschen Gruppe kommutiert jedes Element mit jedem anderen Element. Daher ist Z(Z)=Z.
Weiter in der unteren Zentralreihe:
Da jedes Element von Z mit jedem anderen Element kommutiert, ist der Kommutator [a,b]=a−1b−1ab=0 für alle
a,b∈Z (hier ist der Kommutator in der additiven Gruppe definiert als [a,b]=a+b−a−b=0).
Folglich haben wir Z1(Z)=Z und Z2(Z)=[Z1(Z),Z]={0}.
Ende der unteren Zentralreihe:
Wir sehen, dass Z2(Z)={0} die triviale Gruppe ist.
Daher endet die untere Zentralreihe nach zwei Schritten.
