Lebesgue Majorisierten Konvergenz

Question

Aufgabe: \( \int\limits_{Ω}^{} \) f dλ = \( \lim\limits_{n\to\infty} \)  \( \int\limits_{Ω}^{} \) n log(1 + \( \frac{1}{n} \)f)dλ

…

Problem/Ansatz: Ich will zeigen , dass f_n = n log(1 + \( \frac{1}{n} \)f) puntweise gegen f konvergiert , meine Idee ist die bekannte Ungleichung log(1+t) < t für t > -1 zu nutzen dann bemerken wir dass n log(1 +  \( \frac{1}{n} \)f(x))) < f(x) , aber wie kann damit weiterarbeiten ? oder gibt es eine bessere Idee dafür ?

Liebe Grüße

Fares

Answer 1

Für ein fixes \( x \) kannst du einfach die Taylorapproximation von \( \log( 1 + f( x)  / n)  \) betrachten.
Dann gilt nämlich
\(\begin{aligned} \log\Bigl( 1 + \frac{f( x) }{ n} \Bigr) = \frac{f( x) }{ n} + O\Bigl( \frac{ f( x) ^{ 2}}{ n^{ 2}} \Bigr) \end{aligned}\)
und daher
\(\begin{aligned} n \log\Bigl( 1 + \frac{f( x) }{ n} \Bigr) = x + O\Bigl( \frac{ f( x) ^{ 2}}{ n} \Bigr) \to x. \end{aligned}\)

Answer 2

Am einfachsten vielleicht so:

\(e^{f_n}=e^{n\log (1+\frac1n f)}=(1+\frac{f}n)^n \longrightarrow e^f\), also auch \(f_n\to f\).