Verteilungen und Verteilungsfunktionen einer Zufallsvariablen bestimmen

Question

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum ([0,1], B([0,2]), Unif([0,1])).

Ermitteln Sie die Verteilungen und Verteilungsfuktionen der gegebenen Zufallsvariabeln:

X1(x) = x

X2(x) = 3

Mein Ansatz war folgender:

Verteilung: Px1(x) = P([0,1]) = 1

Verteilungsfunktion: Fx1(x) = Px1([0,x]) = x

Verteilung: Px2(x) = P([0,1)] = 1

Verteilungsfunktion: Fx2(x) = Px2([0,x]) = x

bei der zweiten bin ich mir eben nicht sicher, wie ich X2(x)=3 einbinden soll.

Vielen Dank!

Answer 1

Da \(X_1\) die Identität ist, stimmt die Verteilung von \(X_1\) mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß des Wahrscheinlichkeitsraums überein. Also ist \(X_1\) gleichverteilt auf \([0;1]\).

Verteilungsfunktion: Fx1(x) = Px1([0,x]) = x

Das gilt natürlich nur für \(x\in[0;1]\). Man sollte der Vollständigkeit halber auch die anderen Fälle mit angeben.

Die zweite Zufallsvariable ist konstant. Es gilt also \(P(X=3)=1\). Die Dichte lässt sich dann mit Hilfe der Dirac-Delta-Funktion angeben: \(f_{X_2}(x)=\delta(x-3)\).

Für die Verteilungsfunktion ist dann einfach \(F_{X_2}(x)=\begin{cases}0, & x<3,\\1,& x\geq 3.\end{cases}\)

Comments

Vielen Dank, habe es jetzt verstanden!

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Das freut mich zu hören. :)