Bestimmen Sie die Kantenlängen des archimedischen Körpers.

Question

Aufgabe:

Von einem Würfel der Kantenlänge 2 werden an jeder Ecke kleine Pyramiden abgeschnitten, sodass ein archimedischer Körper ent- steht, dessen Flächen dreieckig bzw. achteckig sind. Bestimmen Sie die Kantenlängen des archimedischen Körpers.

Ich habe leider gar keinen Ansatz. Kann mir jemand bei dem Ansatz helfen.

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KI- Lösung:

Stellen wir uns zunächst den Würfel vor:

Kantenlänge des Würfels: 2 Einheiten
Ecken des Würfels liegen bei (±1, ±1, ±1)


An jeder Ecke wird eine Pyramide abgeschnitten. Die Schnittflächen erzeugen die Achtecke, während die Dreiecke die Reste der ursprünglichen Würfelflächen sind.
Aufgrund der Symmetrie des Würfels müssen alle abgeschnittenen Pyramiden gleich sein.
Bezeichnen wir die Tiefe des Schnitts von jeder Ecke zur Würfelfläche mit x.
Die Kantenlängen des archimedischen Körpers sind dann:

Kante zwischen zwei Achtecken: 2 - 2x (ursprüngliche Würfelkante minus zwei Schnitte)
Kante zwischen Dreieck und Achteck: x√2 (Diagonale des Schnitts auf der Würfelfläche)


In einem archimedischen Körper müssen alle Kanten gleich lang sein. Daher:
2 - 2x = x√2
Lösen wir diese Gleichung:
2 - 2x = x√2
2 = 2x + x√2
2 = x(2 + √2)
x = 2 / (2 + √2)
Vereinfachen wir diesen Ausdruck:
x = 2 / (2 + √2) * ((2 - √2) / (2 - √2))
x = (4 - 2√2) / (4 - 2)
x = 2 - √2
Die Kantenlänge des archimedischen Körpers ist also:
2 - 2x = 2 - 2(2 - √2) = 2√2 - 2

Somit sind die Kantenlängen des archimedischen Körpers:

Zwischen zwei Achtecken: 2√2 - 2
Zwischen Dreieck und Achteck: (2 - √2)√2 = √2(2 - √2) = 2√2 - 2

Beide Längen sind gleich, wie es für einen archimedischen Körper erforderlich ist.
Die Kantenlänge des resultierenden archimedischen Körpers beträgt also 2√2 - 2 Einheiten.

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Die Angaben reichen nicht aus um die Kantenlängen des archimedischen Körpers zu bestimmen.

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Aber mehr haben wir nicht und der Professor meinte es reicht

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Die Antwort der KI ist richtig. und auch gut erklärt. Sie erklärt meine Gleichung, die ich unabhängig aufgestellt habe.

Answer 1

Wenn das Achteck beim Hexaederstumpf gleichmäßig sein soll:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}a + a + \frac{\sqrt{2}}{2}a = 2 \)

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.. weil die Diagonale eines Quadrats das Wurzelzweifache der Kantenlänge lang ist.

Answer 2

Bestimmen Sie die Kantenlängen des archimedischen Körpers.

a = 2 - 2·x = √(2·x^2) --> x = 2 - √2

a = 2 - 2·(2 - √2) = 2·√2 - 2 ≈ 0.8284

Die Kantenlänge des archimedischen Körpers beträgt ca. 0.8284 LE.

Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Hexaederstumpf

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Bildquelle (dort gibts noch mehr):

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedhexahedron.jpg

Answer 3

Ich würde es mit einer ganz einfachen Formel berechnen.
Schau dir mal das Bild an. So sehe ich das.