Aufgabe:
Es seien \( a, b \in \mathbb{N}_{+} \)und \( p>3 \) eine Primzahl. Zeigen Sie, dass das Kongruenzensystem
\( \begin{array}{l} x \equiv a(\bmod 2 p) \\ x \equiv b(\bmod 3 p) \end{array} \)
genau dann eine Lösung hat, wenn \( a \equiv b(\bmod p) \) gilt. Finden Sie (in Abhängigkeit von \( a, b, p) \) die Lösungsmenge dieses Systems.
Problem / Ansatz
Den Beweis für die Bedingung habe ich, nur scheitere ich gerade an der Lösungsmenge. Ich habe das System aufgeteilt
\( \begin{array}{l} x \equiv a(\bmod 2) \\ x \equiv a(\bmod p) \\ x \equiv b(\bmod 3) \\ x \equiv b(\bmod p) \end{array} \)
Zweite und vierte Gleichung sind äquivalent, also muss man nur
\( \begin{array}{l} x \equiv a(\bmod 2) \\ x \equiv a(\bmod p) \\ x \equiv b(\bmod 3) \end{array} \)
betrachten, aber wie weiter?
Lösung mit Chinesischer Restsatz ist schwer, da man keine konkreten Zahlen hat.
