Konvergenz von trigonometrischen Reihen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie daraus einen offenen Konvergenzbereich fu¨r die folgenden trigonometrischen
Reihe:

$$\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1+n^2}{2^n+3^{-n}} e^{int}$$

Problem/Ansatz:

Ich hatte überlegt hier mit einer Potenzreihe als Ansatz ranzugehen und dann den Exponentialterm als komplexe Zahl zu betrachten. Wäre das hier möglich so? Ich bin mir bei der Lösung ziemlich unsicher.

Comments

Was bedeutet e^(int)?

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Naja das wäre die Exponentialdarstellung von den komplexen Zahlen der Reihe

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Der Konvergenzradius ist ganz \(\mathbf{R}\). Du kannst z.B. mittels Wurzelkriterium verfahren.

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Wie genau benutze ich in diesem Fall das Wurzelkriterium?

Answer 1

Wie das WK genau hier anzuwenden ist, ist ja Teil der Aufgabe, also das Lernziel.

Tipps: \(|e^{int}|=1\). Erweitere mit \(3^n\), dann nach oben abschätzen (Nenner kleiner machen). Grenzwert ermitteln.
Fang an und lass sehen, wie weit Du kommst.

Comments

Ok ich habe Mal versucht mich daran zu setzen, aber ich bleibe immer an der selben Stelle hängen:

$$vR = \frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{1+n^2}{2^n+3^{-n}} \right|^{1/n}} = \frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}  \frac{(3^n+3^nn^2)^{1/n}}{(3^n2^n+1)^{1/n}}}$$

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Anscheinend benutzt Du eine Formel für den Konvergenzradius. Darum geht es nicht, sondern um das WK für Reihen. Schlag das nach. Und limes kommt erst am Ende, wenn überhaupt. Und wie es weitergeht: siehe Tipp oben. Und multipliziere im Zähler nicht aus.

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Aber ich möchte doch einen Konvergenzbereich finden in dem die Reihe konvergent ist oder etwa nicht? Mit Hilfe des WZ Kriteriums finde ich doch lediglich heraus ob sie konvergent ist oder nicht?

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Das ist doch das gleiche - es geht darum für welche t die reihe konvergiert. Mit dem WK siehst Du sofort, dass die Konvergenz unabhängig von t ist (siehe tipps oben).

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Ok ich habe nochmal etwas überlegt und bin jetzt auf diese Lösung gekommen:

$$\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{1+n^2}{2^n+3^{-n}} \right|^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{(3^n(1+n^2))^{1/n}}{(3^n2^n+1)^{1/n}} < \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{3(1+n^2)^{1/n}}{(3^n2^n)^{1/n}} = \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{\sqrt[n]{n^2}(\frac{1}{n^2}+1)^{1/n}}{2} = \frac{1}{2}$$

Also ist die Reihe konvergent auf der ganzen komplexen Zahlenebene.

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Das ist ein großer Schritt vorwärts. Nochmal die Tipps: Limes erst ganz zum Schluss (vorher weißt Du ja nicht, ob der Term konvergiert, und es ist auch gar nicht nötig, dass er konvergiert).

Also von Anfang an: \(\sqrt[n]{|a_n|}=...\) einsetzen, Tipps ganz oben nacheinander verwenden, bis am Ende das ganze \(<q<1\) ist.