Der Werkstudent und die Überstunden

Question

Aufgabe:

Um bei seinen Vorgesetzen einen guten Eindruck zu hinterlassen (und sich im Sommer eine Woche zusätzlichen Urlaub gönnen zu können), wartet ein Darmstädter Werkstudent täglich eine gewisse Zeit nach Dienstschluss, bis er das Büro verlässt. Die Dauer der täglichen Mehrarbeitszeiten (in Minuten) kann durch unabhängige auf \( [0,60] \) gleichverteilte Zufallsvariablen beschrieben werden. Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Student im Laufe von 210 Arbeitstagen mehr als 100 Überstunden aufbaut.

Problem/Ansatz:

Wie muss man hier vorgehen?

Answer 1

Überstunden an einem Tag X: diskret gleich verteilt auf [0 ; 60].

E(X) = 30
VAR(X) = ((60 - 0 + 1)^2 - 1)/12 = 310

Für 210 Tage können wir die Verteilung durch die Normalverteilung annähern, mit den Parametern

Überstunden an 210 Tagen Y:

E(Y) = 210·30 = 6300
VAR(Y) = 210·310 = 65100

P(Y ≥ 6001) = 1 - NORMAL((6000.5 - 6300)/√65100) = 0.8798

Comments

Wie kam man auf den Erwartungswert 30?

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Habt ihr kein Skript mit den ganzen Formeln? Wenn nicht solltest du dir selber unbedingt eine Formelsammlung anlegen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Gleichverteilung

Ist eine diskrete Zufallsvariable X gleich verteilt auf dem Intervall [a ; b] dann ist E(X) = (a+ b)/2

Bei Wikipedia findest du auch die Formel der Varianz.

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Und wie kommt man auf die 6001?

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100 Stunden sind 6000 Minuten. Wenn es mehr als 100 Stunden sein müssen, dann sollten es also 6001 Minuten sein. Und bevor du fragst 6000.5 wäre die stetige Ergänzung. Aber die braucht man nicht wirklich hier.

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Also hätte ich auch P(Y ≥ 6001) = 1 - NORMAL((6000 - 6300)/√65100) = 0.8798 einsetzen können?

Danke nochmal

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Also hätte ich auch P(Y ≥ 6001) = 1 - NORMAL((6000 - 6300)/√65100) = 0.8798 einsetzen können?

P(Y ≥ 6000) = 1 - NORMAL((6000 - 6300)/√65100) = 0.8802

Das ergibt natürlich ganz leicht abweichende Werte. Aber das Ganze ist ja eh nur eine Approximation und kein exaktes Ergebnis. Das musst du immer im Auge behalten.

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Eine bessere Approximation bekommt man hin, wenn man direkt von einer stetigen Zufallsvariablen \(X\) ausgeht.