Lineare Gleichungssysteme kann man sehr schön mit dem Gauß-Verfahren lösen. Wenn man das allerdings noch nicht kennt, dann empfiehlt es sich (wegen der höheren Übersichtlichkeit) immer alle Gleichungen bzw. ihre Umformungen "mitzuschleppen". Das ist zwar etwas mehr Schreibarbeit, aber die dadurch gewonnene Übersichtlichkeit und daraus folgend die verringerte Fehlerträchtigkeit lohnen diesen Aufwand. Ds gilt besonders dann, wenn man noch nicht viel Übung mit dem Lösen von Gleichungssystemen hat.
3 x - y + 4 z = 12
x - 2 y + z = 5
6 x - 4 y +3 z = 16
Zweite Gleichung nach x auflösen:
<=>
3 x - y + 4 z = 12
x = 5 + 2 y - z
6 x - 4 y + 3 z = 16
Den für x erhaltenen Term in die beiden anderen Gleichungen für x einsetzen:
<=>
3 ( 5 + 2 y - z ) - y + 4 z = 12
x = 5 + 2 y - z
6 ( 5 + 2 y - z ) - 4 y + 3 z = 16
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
<=>
5 y + z = - 3
x = 5 + 2 y - z
8 y - 3 z = - 14
Erste Gleichung nach z auflösen und den so für z erhaltenen Term in die beiden anderen Gleichungen für z einsetzen::
<=>
z = - 3 - 5 y
x = 5 + 2 y - ( - 3 - 5 y )
8 y - 3 ( - 3 - 5 y ) = - 14
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
<=>
z = - 3 - 5 y
x = 8 + 7 y
23 y = - 23
Dritte Gleichung nach y auflösen und den so erhaltenen Wert von y in die beiden anderen Gleichungen einsetzen:
<=>
z = - 3 - 5 ( - 1 )
x = 8 + 7 ( - 1 )
y = - 1
Ausrechnen:
<=>
z = 2
x = 1
y = - 1
