Lokal Lipschitzstetige Funktion

Question

Hi, ich habe folgende Aufgabe.

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f: R^2 -> R definiert als f(t,x) := |tx|. Zeige, das f lokal Lipschitzstetig bzgl. x ist. (Ich konnte leider kein Bild hier reinstellen, wodurch ich es eins zu eins reinkopiert habe)

Meine Idee bzw. Lösung:

Für x ≠ 0 ist f für x partiell differenzierbar und es gilt f_x (t,x) = |tx|/x. Da die partielle Ableitung f_x für x ≠ 0 existiert und auch stetig ist, ist f für x ≠ 0 lokal Lipschitzstetig bzgl. x.

Für x = 0 wähle man zuerst einen beliebigen Punkt (r,0) ∈ span(1,0) & die U := (r - δ, r + δ) X {0} als Umgebung um (r,0)  mit δ ∈ (0,∞).

Dann wähle man die Lipschitzkonstante L := |r + δ| und für alle (t,0) ∈ U gilt:

|f(t,x) - f(t,0)| = f(t,x) = |tx| = |t| |x| < |r + δ| |x| = L |x-0|. Also ist f auch für x = 0 lokal Lipschitzstetig bzgl. x. Also insgesamt für alle (t,x) ∈ R^2.

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Ist mein Ansatz richtig?

Answer 1

Warum so kompliziert? Man braucht doch weder part. Abl. noch Fallunterscheidung. Setze die Lipschitzbedingung an und lies direkt die Lipschitzkonstante ab an einer Stelle ab. Erweitere das auf eine passende Umgebung.

So ähnlich wie das, was Du am Ende gemacht hast.

Comments

Ja das kann man natürlich auch so machen. Ich meine bei der Aufgabenstellung stand irgendwie als Hinweis die partielle Differentiation, sodass ich es einfach deswegen so gemacht habe

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Hm. Dann war die Aufgabenstellung hier nicht vollständig wiedergegeben. Mit dem Hinweis ist Dein Vorgehen verständlich.

Deine Umgebung \(U\) ist übrigens keine, die muss in beiden Komponenten eine (offene) Umgebung sein, nicht nur in der ersten. Ich beziehe das "lokal" jedenfalls auf \(\R^2\).

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Den Hinweis habe ich vergessen, das tut mir leid.

Aber wie kann ich denn U sonst wählen? Hier muss ja U eine Teilmenge von span(1,0) sein, wenn ich die Lipschitz-Stetigkeit explizit nur für x = 0 untersuchen möchte. Oder gibt es da eine andere Möglichkeit? Das offene Intervall (r-δ,r+δ) kann ja schon mal nicht falsch sein, denke ich mal

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Ich weiß gar nicht, was Du hier mit span willst. Wenn wir die Stelle \((t,0)\) untersuchen wollen, tut es z.B.: \(U=(t-1, t+1)\times (-0.5,0.5)\) mit \(L:=1+|t|\). Oder noch einfacher \(U=(t-1, t+1)\times \R\) mit demselben \(L\). Und letzteres würde es auch für die Stelle \((t,x)\) tun.

Irritieren tut mich weiterhin nur der Hinweis mit den part. Ableitungen.

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Ja aber die Menge aller (t,x) mit x = 0 ist ja gerade span(1,0) := {(t,0) : t reel} und wenn ich die Lipschitzstetigkeit jetzt nur für die (t,x) mit x = 0 zeigen möchte, dann sind es ja gerade die Elemente aus span(1,0). Die Umgebung U muss ja dann nach Definition auch eine Teilmenge von dem Bereich sein, wo ich die Lipschitzstetigkeit zeigen möchte, also in dem Falle eine Teilmenge von der x-Achse, also span(1,0). Das Problem ist, da geht nur dieses U, was ich gewählt hatte, aber das ist wie du richtig sagtest, ja nicht offen. Das verwirrt mich bischen…

Übrigens finde ich das mit den partiellen Ableitungen auch unnötig, abee warum auch immer sollte man es wohl für x ≠ 0 so machen

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Wie gesagt, verstehe ich das "lokal" bezogen auf \(\R^2\). Daher muss \(U\) offen in \(\R^2\) sein. Und auf diesem \(U\) muss dann die Lipschitzstetigkeit bez. der zweiten Komponente vorliegen. Und tut es auch (mit "meinem" \(U\)), wobei die zweite Komponente gar keine Rolle spielt, sondern nur die erste (weil die das \(L\) beeinflusst).

span schreibt man üblicherweise bei Unterräumen, hier (in der Analysis) würde man das als Kreuzprodukt schreiben (eine Umgebung ist normalerweise kein Unterraum).

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Okay das verstehe ich jetzt. Vielen Dank!