Problem bei trigonometrischer Gleichung

Question

Hallo Zusammen,

ein habe ein Problem mit einer Gleichung im Bereich der Trigonometrie. In dem Buch "Kusch Mathematik 3 Auflage 9" wird auf Seite 60/61 bei Aufgabe 11 am Ende der PQ-Formel die Lösung vereinfacht. Hier ist auch gleich mein Problem. Auf der linken Seite wir die Vereinfachung wie folgt dargestellt:

2 * \( \frac{cos Φ}{sin^2 Φ} \) - \( \frac{2}{sin^2 Φ} \) = \( \frac{2}{sin^2 Φ} \) * (cos Φ - 1)

Auf der rechten Seite steht dann auf einmal

\( \frac{2}{sin^2 Φ} \) * (cos Φ + 1)

Wenn es hier ein Rechenweg geben sollte, dann weiß ich nicht, wie dieser aussehen soll. Und falls dies eine Gleichung sein sollte, dann verstehe ich sie leider auch nicht.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei diesem Problem helfen könnte. Aktuell sitze ich bereits seit Tagen an einem Lösungsversuch und komme auf kein Ergebnis. Es ist mir schon bei einigen Aufgaben aufgefallen, dass das Buch viele Fehler hat und konnte das Ergebnis dann selbst lösen. Aber hier habe ich nur noch Fragezeichen.

Vielen Dank im Voraus.

Viele Grüße

Thorsten

Answer 1

2 * \( \frac{cos Φ}{sin^2 Φ} \) - \( \frac{2}{sin^2 Φ} \) = \( \frac{2}{sin^2 Φ} \) * (cos Φ - 1)

Diese Umformung ist lediglich Bruchrechnung und Rechengesetze:

\(\begin{aligned} &  &  & 2\cdot~{\frac{cos\Phi}{sin^{2}\Phi}}-~{\frac{2}{sin^{2}\Phi}}~\\ & \text{Multiplikation Bruch mal Zahl} & = & ~{\frac{2\cdot cos\Phi}{sin^{2}\Phi}}-~{\frac{2}{sin^{2}\Phi}}~\\ & \text{Addition von Brüchen} & = & {\frac{2\cdot cos\Phi-2}{sin^{2}\Phi}}\\ & \text{Distributivgesetz (Ausklammern)} & = & {\frac{2\cdot\left(cos\Phi-1\right)}{sin^{2}\Phi}}\\ & \text{Multiplikation Bruch mal Zahl} & = & {\frac{2}{sin^{2}\Phi}\cdot\left(cos\Phi-1\right)} \end{aligned}\)

Comments

Hallo oswald, vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort und den mehr als schönen und ausführlichen Rechenweg. Wenn ich den so betrachte, dann habe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Vielen...vielen lieben Dank und ein ganz schönes Wochenende. Meines hast du auf jeden Fall gerettet. :-)

Liebe Grüße

Thorsten

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Hallo Zusammen, ich möchte mich zusätzlich zu oswald auch bei allen anderen für ihre Beträge bedanken. Mir ist bekannt, dass ich bzgl. der Quellenanhaben ab und an meine Defizite habe und werde beim nächsten Mal diese versuchen, diese besser anzugeben. :-) Auf jeden Fall gilt allen von euch mein Dank, dass ihr mir bei meinem Problem helfen konntet und nun ein ganzes Stück weiter bin.

Liebe Grüße

Thorsten

Answer 2

Das mit den Quellenangaben üben wir nochmal. Es handelt sich um das entsprechende Lösungsbuch von Kusch.

Und lies bitte richtig, was in dem Buch steht. Es sind zwei unterschiedliche Rechnungen. Beim Durchführen der pq-Formel auf der rechten Seite erhält man am Ende den Term \(F(\varphi)=2\frac{\cos(\varphi)}{\sin^2(\varphi)}\pm\frac{2}{\sin^2(\varphi)}=\frac{2}{\sin^2(\varphi)}(\cos(\varphi)\pm 1)\).

Auf der linken Seite ist gleichzeitig erklärt, dass der Teil mit dem Minuszeichen entfällt, weil \(F(\varphi)\geq 0\) sein muss. Auch ist dort gezeigt, warum der Ausdruck für das Minus kleiner gleich 0 ist.

Answer 3

Man sollte sehen, dass man aus der Differenz den Faktor 2/sin^2(Φ) ausklammern kann:

-> 2/sin^2(Φ)*(cos(Φ-1)  und das wars auch schon. Genau das wurde gemacht.

allgemein:

a*(b/c) - a/c =  (a/c)*b - a/c = a/c*( b-1)

Comments

Hallo ggT22,

vielen lieben Dank für deine Hilfe und deinen Tipp. Mir fällt es bei diesem Buch an manchen Stellen schwer, dem Lösungsweg zu folgen. An manchen Stellen wird er sehr präzise beschreiben und an anderen Stellen aus nicht nachvollziehbaren Gründen teilweise übersprungen bzw. es wird nicht näher darauf eingegangen. Leider habe ich in meinem Umfeld niemanden, dem ich solche Fragen stellen kann. Umso glücklicher bin ich, dass ich dieses Forum und euch gefunden habe.

Viele Grüße

Thorsten