Hallo liebe Mathe-Fans,
ich versuche, folgende Gleichheit zu zeigen:
Aufgabe/Problem:
$$ sin(5x) + 5 sin(4x) + 10 sin(3x) +10 sin(2x) + 5 sin(x) = 2^5 cos^5(\frac{x}{2}) sin(\frac{5x}{2}) $$
Mein Ansatz:
Mir ist bewusst, dass ich diesen Ausdruck mit den eulerschen Formeln folgendermaßen schreiben kann:
$$ \frac{1}{2i} \cdot (e^{5ix}-e^{-5ix}+5e^{4ix}-5e^{-4ix}+10e^{3ix}-10e^{-3ix}+10e^{2ix}-10e^{-2ix}+5e^{ix}-5e^{-ix})$$
Irgendeine Summe, unfaktorisiert, mit unterschiedlichen Exponenten, weiß nicht, wie ich hier weiter vereinfachen soll. Offenbar eine Sackgasse.
Wenn man die eulersche Darstellung mal beiseite lässt, dann kann man ja zumindest
$$10 \cdot sin(2x) = 10 \cdot 2*sin(x)*cos(x)$$ schreiben. Die Formel erinnert schon sehr stark an die Struktur der rechten Seite der Gleichung aus der Aufgabenstellung (ganz oben).
Blöderweise gilt diese trigonometrische Identität ja nur für die Summer zweier Winkel, also $$sin(2x)$$. Also beispielsweise wäre der Faktor davor, $$10 \cdot sin(3x) = 10 \cdot 3*sin(x)*cos(x)$$ bekanntermaßen falsch.
Ich bin also auf einer heißen Spur, hoffe ich zumindest, aber komme ab dem Punkt einfach nicht weiter.
Könnte mir wer helfen?
Vielen Dank im Voraus.
