Geometrische Summenformel, Unterschied

Question

Hallo, ich habe manchmal das Problem, dass ich nicht genau weiß, welche Formel der geometrischen Summe wann benötigt wird. Kann jemand den Unterschied erklären, bzw. wann man welche braucht?

Text überarbeitet:

$$ \sum \limits_{j=k}^{n} p^{j}=\dfrac{p^{k}-p^{n+1}}{1-p}$$

$$ \sum \limits_{j=0}^{n-1} a_{1} \cdot q^{j} = a_{1} \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} $$

Comments

Hallo. Ich habe die Formeln mal etwas ergänzt. Schau mal, ob das nun besser ist.

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Ah, also quasi nur eine Verschiebung des Index?

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Nicht nur.

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Answer 1

Auf die Kleinigkeiten kommt es an.

Beachte

\( \sum \limits_{j=k}^{n} p^{j}=\sum\limits_{j=0}^{n}p^j-\sum\limits_{j=0}^{k-1}p^j\)

sowie

\( \sum \limits_{j=0}^{n} ap^{j}=a \sum \limits_{j=0}^{n} p^{j}\).

Im Prinzip wird immer dieselbe Formel verwendet, nämlich

\( \sum \limits_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{1-p^{n+1}}{1-p}=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}\).

Achte also ganz genau darauf, auf welchen Term du die Summenformel anzuwenden hast.

Answer 2

Das, was deine Summenformeln unterscheidet, sind die Grenzen und das was genau summiert wird. Also welche Partialsumme der geometrischen Reihe genau gebildet wird.

Der Einfachheit halber nehme ich nur mal die Formeln mit dem a als Faktor. Deine erste Formel ergibt sich eben als Spezialfall für a = 1.

∑ (x = 0 bis n) a·q^x = a·(1 - q^{n + 1})/(1 - q)

∑ (x = 0 bis n - 1) a·q^x = a·(1 - q^n)/(1 - q)

∑ (x = m bis n) a·q^x = a·(q^m - q^{n + 1})/(1 - q)

Comments

Ich frage mich, warum man diese Schreibweise: (1-q^n)/(1-q) dieser vorzieht: (q^n-1)/(q-1).

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Vielleicht möchte man negative Zähler und Nenner vermeiden...

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Genau die entstehen z.B. hier:

Beispiel:
Du sparst 1000 Euro 20 Jahre jeweils am Jahresende mit i= 5%
a) Kapital nacn 20 Jahren
K= 1000*(1- 1,05^20-1)/(1- 1,05)

In der Finanzmathematik macht man es hier z.B. nicht:

https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung#Barwert-_und_Endwertformeln

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Zunächst mal ist es ja nicht klar ob q größer oder kleiner als 1 ist. Für den Fall das q allerdings kleiner als 1 ist und n gegen unendlich geht, ergibt sich die Summenformel der geometrischen Reihe

∑ (x = 0 bis n) a·q^x = a·(1 - q^{n + 1})/(1 - q)

∑ (x = 0 bis ∞) a·q^x = a/(1 - q)

Hier wäre das vermutlich etwas unschön im Nenner q - 1 zu schreiben.

Und weil die Formeln ja alle miteinander Zu tun haben macht es vielleicht Sinn hier den Nenner gleichnamig zu machen.

PS: auch in dieser Formel habe ich mal das a stehen lassen, obwohl man diese Formel meist eben ohne a schreibt.