Aufgabe:
(a) Bei der Mannschaft TGK spielen die beiden Topstürmer Fabio und Roberto. In einem Spiel erzielt Fabio mit Wahrscheinlichkeit 0,6 mindestens ein Tor und Roberto mit Wahrscheinlichkeit 0,5 . Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Topstürmer im gleichen Spiel treffen, beträgt 0,3 . Wenn Fabio in einem Spiel mindestens ein Tor erzielt, gewinnt die Mannschaft TGK mit Wahrscheinlichkeit 0,8 das Spiel. Gelingt Fabio in einem Spiel kein Tor, so verliert die Mannschaft TGK mit Wahrscheinlichkeit 0,6 das Spiel.
(i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem beliebigen Spiel Fabio oder Roberto ein Tor erzielen?
(ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft TGK ein zufällig ausgewähltes Spiel gewinnt?
(iii) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Fabio mindestens ein Tor erzielt hat, wenn die Mannschaft TGK das Spiel gewinnt?
Problem/Ansatz:
Ist die a) i) ii) und iii) richtig?
Text erkannt:
Nr. 2
a) F: Fabio erzielt mindestens ein Tor
R: Roberto erzielt mindestens ein Tor
G: TGK gewinnt das spiel
\( \begin{array}{l} P(F \cap R)=P(R \mid F) \cdot P(F)=0.3 \\ P(G \mid F)=0.8 \\ P\left(G^{c} \mid F^{c}\right)=0.6, P\left(G \mid F^{c}\right)=1-P\left(G^{c} \mid F^{c}\right)=\underline{0.4} \\ P(F)=0.6, P(R)=0.5 \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ P(F \cup R)=0.6+0.5-0.3 \\ P(F \cup R)=0.8 \end{array} \)
\( \text { i) } P(F \cup R)=0.8 \)
\( \begin{array}{l} P(G)=P(G \mid F) \cdot P(F)+P\left(G \mid F^{c}\right) \cdot P\left(F^{c}\right) \\ P(G)=0.8 \cdot 0.6+0.4 \cdot 0.4 \\ P(G)=0.64 \end{array} \)
ii) \( P(G)=0.64 \)
\( P(F \mid G)=\frac{P(G \mid F) \cdot P(F)}{P(G)} \)
iii) \( P(F \mid G)=0.75 \)
Ich
