Münzwurf: Wieso wird die doppelte Zeit veranschlagt?

Question

Aufgabe: Münzwurf

Die Wahrscheinlichkeit, viermal Kopf zu werfen, beträgt 1:16. Angenommen, die Wurfrate beträgt 4 Würfe/Minute. Die Zeit, die benötigt wird, um viermal Kopf zu erreichen, wird mit 8 Minuten beziffert. Später wird die Zeit (bei gleicher Wurfrate), die benötigt wird, um sechsmal Kopf zu werfen (Wahrscheinlichkeit: 1:64), mit 30 Minuten beziffert.

Problem/Ansatz:

Das Problem ist an sich einfach (stammt aus einem Artikel aus einer populärwissenschaftlichen Publikation). Mit leuchtet aber in beiden Fällen die jeweils angegebene Zeit zum Erreichen von viermal bzw. sechsmal Kopf nicht ein. Theoretisch wären 16 bzw. 64 Würfe notwendig. Bei 4 Würfen/Minute hieße das aber 4 bzw. 16 Minuten bis zum Erreichen der theoretisch notwendigen Kopf-Anzahl.

Wieso wird die doppelte Zeit veranschlagt?

Comments

Die Fragestellung gehört zu den sogenannten Wartezeitproblemen. Die Wurfrate kannst du dabei einstweilen ignorieren und statt der Zeit in Minuten einfach die Anzahl der durchschnittlich benötigten Würfe für r-mal Kopf beachten. Das macht bei konstanter Wurfrate keinen wesentlichen Unterschied.

Answer 1

Beachte das nicht immer 4 Münzen auf einmal geworfen werden sondern eine Münze hintereinander und wenn die letzten 4 Würfe Kopf waren, dann wurde das Ziel erreicht.

Im mittel braucht man dann 30 Würfe um 4 mal Kopf zu werfen. Das sind dann

30/4 = 7.5 Minuten. Das wurde aufgerundet auf 8 Minuten.

Du kannst das ganze beispielhaft mit einer Markov-Kette berechnen.

Für 6 Kopfwürfe berechne ich allerdings im Mittel 126 Würfe also etwa 31.5 Minuten.

Dein Fehler ist ja schon das du von 16 Würfen ausgehst. Es werden dann aber 16 mal 4 Münzen geworfen und das sind dann eigentlich schon 64 Würfe. Denk mal darüber nach.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Da lag tatsächlich ein Denkfehler meinerseits vor.

Answer 2

Wenn die Wk 1/16 ist heisst das ja nicht, dass man bei 16 Würfen sicher 4 6 en hat. sondern du muss ausrechnen mit welcher Wk man bei 32 Würfen

4 6en hat. Also gehört noch eine Angabe de Wk die man haben will dazu. Auch bei 100 Würfen ist man ja nicht sicher.

lul

Comments

Dessen bin ich mir durchaus bewusst - die Wahrscheinlichkeit von 1:16 bedeutet nicht, dass nach 16 Würfen die entsprechende Anzahl automatisch erreicht wird bzw. dass mindestens 16 Würfe notwendig sind; schließlich könnte viermal Kopf auch bereits bei den ersten 4 Würfen erreicht werden oder erst nach 26.

Gemäß Ihrer Antwort hätte der Autor eine beliebige Zeit angeben können: 5 Minuten, 22 Minuten, 3 Stunden. Er suggeriert aber, dass die angegebenen 8 Minuten zum Erreichen von theoretischen 4mal Kopf auf der Basis der Wurfrate (4 Würfe/Minute) errechnet wurde. Und da finde ich die 8 Minuten etwas rätselhaft.

Answer 3

Die durchschnittliche Anzahl an Münzwürfen zum Erreichen von 1-mal "Kopf" beträgt $$\dfrac{1}{0.5} = 2$$ Das lässt sich noch leicht nachrechnen. Anschaulich argumentiert ist die durchschnittliche Anzahl an Münzwürfen zum Erreichen von 2-mal "Kopf" dann $$\dfrac{2}{0.5} = 4$$ und bei 4-mal "Kopf" dann eben $$\dfrac{4}{0.5} = 8$$ usw.

Vielleicht wollte dein Aufsatz darauf hinaus.