Wie finde ich die Zeit(t) heraus mit der Formel f(t)=a*b^t?

Question

Aufgabe:

In welcher Zeit wächst ein Rappen beim Zinssatz 4% zu einem Franken an?

Meine Gedanken:

f(t) = a * b^t

f(t) = 0.01 * 1.04^t

Wie finde ich nun t heraus?

Ich weiss, dass man t mit dem Logarithmus herausfindet aber wie? Ich denke mit dieser Formel:

\( \log _{b} x=\frac{\log _{10} x}{\log _{10} b}=\frac{\ln x}{\ln b} \)

Aber ich weiss nicht wie und mich verwirrt, dass da steht log_bx und die eigentliche Formel ist:

\( b^{x}=a \Leftrightarrow x=\log _{b} a \)

Wie finde ich die Zeit (t) heraus mit der Formel f(t) = a*b^t ?

Answer 1

log _b x   bedeutet der log zur basis b mit dem Wert x

Bei deiner Aufgabe ist der Wert schon fast vorgegeben, denn

1 Rappen soll ja nach Ablauf von einer Anzahl von Jahren  einen Franken ergeben also:

 1 = 0,01 *  1,04^{t            |} nun durch 0,01 teilen

100= 1,04^t

Die Basis ist 1,04    und der Wert ist 100  

also ist  t=  log 100 / log 1,04

Answer 2

Hi johana,

ersteres ist nur ein Basiswechsel. Wenn Du eine Basis b hast und die nicht in den Taschenrechner tippen kanns (oder welcher Grund auch sonst), dann kannst Du das Umwandeln.

Brauchen wir aber nicht. Wir verwenden einfach direkt den ln.

 

Gleichung aufstellen

f(t) = 0.01 * 1.04 ^t = 1 |:0,01

1,04^t = 1/0,01 = 100  |ln

ln(1,04^t) = ln(100)     

t*ln(1,04) = ln(100)

t = ln(100)/ln(1,04) ≈ 117,42

 

Nach etwa 117,42 Jahren haben wir einen Franken.

 

Grüße

Comments

OH vielen Dank Unknown :)

Leider benutzen wir die ln nicht wir benutzen nur log.

unsere Lehrerin hat gesagt ln ist die umkehrformel für e und das bräuchten wir nicht.

So weit bin ich gekommen:

Das wäre eine andere Aufgabe aber das gleiche Problem

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Hmm?

Das ist doch eine andere Aufgabe ;).

Es macht übrigens keinen Unterschied was Du benutzt. Ob ln oder log. Du musst ihn nur konsequent benutzen.


Rechts hast Du ganz am Ende (1)^t stehen? Was ist das? Hast Du gerundet? Das tue nur ganz am Ende beim Ergebnis! Hier mit dem exakten Ergebnis rechnen!

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Dann wäre es statt (1)^t   

(1.02)^t = 1.02

Bei mir hat es irgendwie noch nicht klick gemacht, wie ich nun das zu log umforme, wie es akelei beschrieben hat. Könntest du mir helfen?

Wie heisst diese Regel?

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Habe die Münz Aufgabe verstanden^^

Ich probiere jetzt die andere Aufgabe

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Bitte entschuldigt mich für das durcheinander.

Ich habe nun versucht die Münz Aufgabe bin ich auf die Richtige Lösung gekommen hier jedoch nicht.

Sieht jemand warum?