Wie funktioniert das Wurzelkriterium bei dieser Aufgabe?

Question

\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{4 n+5}{2 n+3}\right)^{n}} & =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 n+5}{2 n+3} \\ & =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4+\frac{5}{n}}{2+\frac{3}{n}} \\ & =\frac{4}{2} \\ & =2>1 \quad \end{aligned} \)

Problem: Ich verstehe die Auflösung der Brüche nicht.

Achso, die lösen sich auf, weil wenn n immer größer wird, dann gehen die Brüche gegen 0 und dann hat man 4/2....

ich verstehe trotzdem nicht wie man das n im Bruch "rum schiebt"

Ich habe es mittlerweile verstanden, ich multipliziere den nenner und zähler einfach mit 1/n.... Danke, ich kann leider die Frage nicht löschen.

Answer 1

Das nennt man "kürzen". Im Bruch wird durch n gekürzt.

Beachte zum richtigen Aufschreiben, dass man limes erst schreiben darf, wenn die Konvergenz gesichert ist, also nicht von Anfang an. Fang also bei der Rechnung nur mit dem Bruch, ohne limes, an.

Answer 2

Hallo,

ja das eine sind die Wurzelgesetze, das du die Wurzel auf Zähler und Nenner seperat anwendest und dann das Potenzgesetz nutzt. Dann klammerst du einfach ein n aus dem Zähler und Nenner aus. Das ist eine typische Methode bei solchen Folgen den Grenzwert zu erkennen.

Es war zwar nicht Deine Frage, aber trotzdem eine wichtige Eigenschaft die ich dir gerne mitteilen möchte. Das Wurzelkriterium ist gut umd die Konvergenz/Divergenz von Reihen zu untersuchen, wenn man im Grenzwert der Wurzelfolge ein Wert ≠ 1 bekommt. Das Problem ist aber, wenn die Wurzelfolge gegen 1 geht, denn dann kann man nichts über die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe aussagen. Vorallem in solchen Art Reihen kommt da meistens bei der Wurzelfolge eine 1 raus (das war mal eine Ausnahme). Im Allgemeinen eignet sich der Vergleichstest prima, denn der geht immer. Wir schätzen die Folge in dem Falle nach unten ab:

Es gilt erstens immer 4n+5 ≥ 2n+3, d.h. (4n+5)/(2n+3) ≥ 1 und damit gilt widerum:

[(4n+5) / (2n+3)]^n ≥ (4n+5)/(2n+3) ≥ 1/(2n+3) ≥ 1/(2n+4) = (1/2) [1/(n+2)].

D.h. für alle n ≥ 1 gilt die Abschätzung
[(4n+5) / (2n+3)]^n ≥ (1/2) [1/(n+2)] 

Da die Reihe zu (1/2) [1/(n+2)] eine Minorante zu der Reihe aus der Aufgabe ist und divergiert, folgt auch die Divergenz für die Reihe aus der Aufgabe, nach dem Vergleichstest.