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Aufgabe: Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen

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Text erkannt:

E1 : x=(010)+r(001)+s(100)E2 : x=(210)+t(123)+u(432) \begin{array}{l}E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \\ E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{l}4 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)\end{array}

Ansatz:


IMG_5568.jpeg

Text erkannt:

Ebenen greionsetzen \rightarrow umgefoumt:
r(001)+s(100)+t(123)+u(432)=(200) r \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l} -1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{l} -4 \\ -3 \\ -2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

Gaup-Verfahren:
(rstu011420023010320)(pst4103200114200230) II. 2t3u=01+3uαt=3u1 : (α)t=1,5u in E2E : x=(210)1,5u(123)+u(432)(210)+(1.54344.54)+(44342u)(210)+(2,5402,54)(210)+u(2,502,5) \begin{array}{l} \left(\begin{array}{cccc|c} r & s & t & u & \\ 0 & 1 & -1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -3 & -2 & 0 \end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} p & s & t & 4 & \\ 1 & 0 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & 0 \end{array}\right) \\ \text { II. }-2 t-3 u=01+3 u \\ \begin{array}{c} -\alpha t=3 u 1:(-\alpha) \\ t=-1,5 u \end{array} \xrightarrow{\text { in } E_{2}} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)-1,5 u \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) \\ \Leftrightarrow\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -1.54 \\ -34 \\ -4.54 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 44 \\ 34 \\ 2 u \end{array}\right) \\ \Leftrightarrow\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 2,54 \\ 0 \\ -2,54 \end{array}\right) \Leftrightarrow \underline{\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} 2,5 \\ 0 \\ -2,5 \end{array}\right)} \end{array}

Ist die Schnittgerade richtig bestimmt worden?

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Es gibt auch Seiten zur Kontrolle für Gleichungssysteme z.B. diese:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

3 Antworten

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Aloha :)

Alle Punkte der Ebene E1E_1 haben den yy-Wert 11.

Du brauchst also von der Ebene E2E_2 nur alle Punkte auszuwählen, für die y=1y=1 gilt:1=!1+2t+3u    u=23t1\stackrel!=1+2t+3u\implies u=-\frac23tDas setzt du in die Ebenengleichung E2E_2 ein und erhältst die Schnittgerade:g ⁣ : x=(210)+t(123)23t(432)=(210)+5t3(101)g\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\frac23t\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\frac{5t}{3}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}

Da tRt\in\mathbb R beliebig gewählt werden darf, könntest du noch 5t3\frac{5t}{3} durch eine beliebige reelle Variable ersetzen, aber das ist Kosmetik.

Du hast eine mögliche Darstellung der Schnittgeraden richtig berechnet.\quad\checkmark

Avatar von 152 k 🚀

Die Darstellung einer Geradengleichung in Parameterform ist nicht eindeutig:

x=(210)+t(52052)=(210)+5t2a(a0a);tR\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}\frac52\\[1ex]0\\[1ex]-\frac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\pink{\frac{5t}{2a}}\begin{pmatrix}a\\0\\-a\end{pmatrix}\quad;\quad t\in\mathbb R

Für aa kannst du jede reelle Zahl 0\ne0 einsetzen. Der pinke Vorfaktor kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen, da die Variable tt jeden beliebigen rellen Wert annehmen kann. Daher kannst du den pinken Vorfaktor durch eine reelle Variable ersetzen, z.B. durch λ\lambda. Wählst du noch a=1a=-1 erkennst du, dass deine Darstellung der Schnittgeraden gleichwertig zu meiner Darstellung ist:x=(210)+λ(101);λR\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad \lambda\in\mathbb R

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Vorgehen ist in Ordnung. Aber wieso gegen Ende     \iff? Mach dir den Unterschied zu == klar.

Du kannst dein Ergebnis selbst prüfen, wähle zwei einfache Punkte auf der Geraden und prüfe, ob diese Punkte in beiden Ebenen liegen. Das geht schneller als du vielleicht denkst. Wenn das für beide Punkte erfüllt ist, liegt auch die Gerade in beiden Ebenen.

Avatar von 10 k
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Hallo.

Dein Ergebnis ist richtig. Ich habe nur dein Rechenweg nicht ganz verstanden. Hier ist nochmal eine etwas kompaktere Version von mir:

Ich bezeichne mal hier die Variablen bischen anders.

IMG_0593.jpeg

Avatar von 1,7 k

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