Summe der Quadrate von Primzahlen

Question

Beweise: Für Primzahlen oberhalb 3 ist die Summe der Quadrate von 3 aufeinanderfolgenden Primzahlen durch 3 teilbar.

Comments

3 aufeinanderfolgenden Primzahlen

Meinst du damit Primzahldrillinge?

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Mögliche Verallgemeinerung: Die Summe der Quadrate von 3 Primzahlen ungleich 3 ist durch 3 teilbar.

Answer 1

Primzahlen über 3 können in der Form 6·n - 1 oder 6·n + 1 geschrieben werden. Die Quadrate wären also

(6·n - 1)^2 = 36·n^2 - 12·n + 1 = 3·(12·n^2 - 4·n) + 1
(6·n + 1)^2 = 36·n^2 + 12·n + 1 = 3·(12·n^2 + 4·n) + 1

und haben demnach bei Teilung durch 3 den Rest 1.

Drei dieser Zahlen, die jeweils den Rest 1 haben, bilden zusammen den Rest 3 und 3 ist dann wieder durch 3 teilbar.

Answer 2

Das Quadrat einer Primzahl über 3 hat bei Teilen durch 3 den Rest 1.

"aufeinanderfolgenden" ist ein Ablenkungsmanöver.

Comments

Und warum gilt: Das Quadrat einer Primzahl über 3 hat bei Teilen durch 3 den Rest 1?

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Primzahlen über 3 haben bei Teilen durch 3 den Rest 1 oder den Rest 2.

        1² = 1 ≡ 1  mod 3
        2² = 4 ≡ 1  mod 3

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Primzahlen über 3 haben bei Teilen durch 3 den Rest 1 oder den Rest 2.

Die Aussage ist richtig. Welche Primzahlen quadriert liefern denn genau den Rest 2 bei einer Teilung durch 3?

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Eine solche Primzahl gibt es nicht, wie ich ja schon bewiesen habe.

Answer 3

Die Restklassen modulo 3 sind \( \left\{ \:\left[ -1\right]_3,\: \left[ 0 \right]_3,\:\left[ +1\right]_3\: \right\}.\)

Die quadrierten Restklassen modulo 3 sind also \( \left\{ \: \left[ 0 \right]_3,\:\left[ 1\right]_3\: \right\}.\)

Daher hinterlassen alle Quadrate von beliebigen, nicht durch 3, teilbaren ganzen Zahlen beim Teilen durch 3 den Rest 1.

Deswegen ist die Summe von drei Quadraten beliebiger, nicht durch 3 teilbaren, ganzen Zahlen immer durch 3 teilbar.

Die letzte Satz schließt die Aussage

Für Primzahlen oberhalb 3 ist die Summe der Quadrate von 3 aufeinanderfolgenden Primzahlen durch 3 teilbar.

ein.