Aufgabe:
Gesucht ist das Produkt von vier Primzahlen, die sowohl verschieden als auch gleich sein können. Dieses Produkt soll das Zehnfache sein als ihre Summe.
Finde alle Möglichkeiten.
Problem/Ansatz:
Ich habe leider keinen Ansatz gefunden und weiß nicht wie ich hier vorgehen muss.
Produkt soll das Zehnfache sein als ihre Summe.
Wenn ein Produkt durch 10 teilbar sein soll, muss es den Primfaktor 2 und den Primfaktor 5 enthalten.
Damit sind zwei der 4 Primzahlen sicher.
Finde nun alle Primzahlen p, q, für die
10*(2+5+p+q)=2*5*p*q gilt.
Aus welchem Wettbewerb stammt diese schöne Aufgabe?
Vielen Dank :)
Hochschulmathematik
Hallo,
da das Produkt das 10-Fache sein soll, muss es durch 10 teilbar sein.
Die gesuchten Zahlen müssen also 2 und 5, sowie zwei Unbekannte a und b sein.
2*5*a*b=(2+5+a+b)*10
a*b=a+b+7
Probieren liefert
3*5=3+5+7
Also ist eine Lösung 2;3;5;5.
Summe 15, Produkt 150.
Vielleicht gibt es noch mehr Lösungen.
Nach b auflösen:
b=(a+7)/(a-1)
Da die so berechneten Werte für b kleiner als 2 sind, wenn a>9 ist, gibt es keine weiteren Lösungen.
:-)
Danke :) ich werde es weiter probieren ob es noch mehr Lösungen gibt
Wenn das Produkt von Primzahlen ein Zehnfaches einer natürlichen Zahl sein soll, dann müssen zwei der Primzahlen 2 und 5 sein. Die anderen beiden heißen p und q. Dann soll gelten. 2·5·p·q=10·(2+5+p+q). Nach p aufgelöst ist dann: p=\( \frac{q+7}{q-1} \). Hier findet man durch Einsetzen von Primzahlen q heraus, dass nur (p=3 und q=5) oder (p=5 und q=3) gelten kann.
Danke :) für den guten Tipp
Gern geschehen. Das erscheint mir aber für Hochschulmathematik zu einfach.
Wie in anderen Antworten bereits gezeigt wurde, muss man zwei
Primzahlen \(p,q\) finden, so dass \(7+p+q=pq\) ist.
Diese Gleichung ist äquivalent zu \((p-1)(q-1)=8\).
Weder \(p-1\), noch \(q-1\) können \(=1\) sein, da 9 keine Primzahl ist,
also \(p-1=2\) und \(q-1=4\), d.h. \(p=3\) und \(q=5\) oder umgekehrt.
Danke für den Tipp :)
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