Produkt und Summe von Primzahlen

Question

Aufgabe:

Gesucht ist das Produkt von vier Primzahlen, die sowohl verschieden als auch gleich sein können. Dieses Produkt soll das Zehnfache sein als ihre Summe.

Finde alle Möglichkeiten.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz gefunden und weiß nicht wie ich hier vorgehen muss.

Answer 1

Produkt soll das Zehnfache sein als ihre Summe.

Wenn ein Produkt durch 10 teilbar sein soll, muss es den Primfaktor 2 und den Primfaktor 5 enthalten.

Damit sind zwei der 4 Primzahlen sicher.

Finde nun alle Primzahlen p, q, für die

10*(2+5+p+q)=2*5*p*q gilt.

Aus welchem Wettbewerb stammt diese schöne Aufgabe?

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Vielen Dank :)

Hochschulmathematik

Answer 2

Hallo,

da das Produkt das 10-Fache sein soll, muss es durch 10 teilbar sein.

Die gesuchten Zahlen müssen also 2 und 5, sowie zwei Unbekannte a und b sein.

2*5*a*b=(2+5+a+b)*10

a*b=a+b+7

Probieren liefert

3*5=3+5+7

Also ist eine Lösung 2;3;5;5.

Summe 15, Produkt 150.

Vielleicht gibt es noch mehr Lösungen.

a*b=a+b+7

Nach b auflösen:

b=(a+7)/(a-1)

a	b
2	9
3	5
5	3
7	7/3
11	1,8

Da die so berechneten Werte für b kleiner als 2 sind, wenn a>9 ist, gibt es keine weiteren Lösungen.

:-)

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Danke :) ich werde es weiter probieren ob es noch mehr Lösungen gibt

Answer 3

Wenn das Produkt von Primzahlen ein Zehnfaches einer natürlichen Zahl sein soll, dann müssen zwei der Primzahlen 2 und 5 sein. Die anderen beiden heißen p und q. Dann soll gelten. 2·5·p·q=10·(2+5+p+q). Nach p aufgelöst ist dann: p=\( \frac{q+7}{q-1} \). Hier findet man durch Einsetzen von Primzahlen q heraus, dass nur (p=3 und q=5) oder (p=5 und q=3) gelten kann.

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Danke :) für den guten Tipp

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Gern geschehen. Das erscheint mir aber für Hochschulmathematik zu einfach.

Answer 4

Wie in anderen Antworten bereits gezeigt wurde, muss man zwei

Primzahlen \(p,q\) finden, so dass \(7+p+q=pq\) ist.

Diese Gleichung ist äquivalent zu \((p-1)(q-1)=8\).

Weder \(p-1\), noch \(q-1\) können \(=1\) sein, da 9 keine Primzahl ist,

also \(p-1=2\) und \(q-1=4\), d.h. \(p=3\) und \(q=5\) oder umgekehrt.

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Danke für den Tipp :)