Umformschritte bei Laplace-Transformation

Question

Aufgabe:

Die AWA geht über in

\(\displaystyle \left(s^{2}-2 s+1\right) U+2-s=\frac{4}{s^{2}+16}+\frac{2}{(s+1)^{2}} \)

mit der Lösung
\(\displaystyle U(s)=\frac{4}{\left(s^{2}+16\right)(s-1)^{2}}+\frac{2}{(s+1)^{2}(s-1)^{2}}+\frac{s-2}{(s-1)^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Verstehe die Umformung nicht, es wird ja bestimmt eine der Korrespondenzen angewandt aber ich komme einfach nicht drauf und bräuchte dort eure Hilfe.

Vielen Dank!

Answer 1

Bringe \(2-s\) auf die andere Seite und dividiere durch \(s^2-2s+1=(s-1)^2\) (binomische Formel).

Comments

Danke, einfacher als Gedacht.

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Es scheiterte vermutlich am Erkennen der binomischen Formel. ;)

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Ja wahrscheinlich ;)

Noch eine Frage, hab mal was geschrieben.

Wie kommt man auf die lsg., Dann sind das glaube ich alle fragen?

Text erkannt:

wie homst man dadranf?\( \begin{array}{l} \ldots=2 t \cdot e^{-t} \\ \text { Lo } \left.\quad \begin{array}{r} e^{-t} a \circ \frac{1}{s+1} \\ t 0 \rightarrow \frac{1}{s^{2}} \end{array}\right]=\underbrace{\frac{1}{s+1} \cdot \frac{1}{s^{2}}}_{s o ?}=? \underbrace{\frac{1}{(s+1)^{2}}}_{l s g .} \end{array} \)

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Du kannst nicht einfach irgendwas multiplizieren. Es gibt für das meiste eine Regel, und wenn Du keine Regel findest, darfst Du nicht irgendwas ausdenken.

Die Regel hier ist (schau in Deine Unterlagen!):
\(\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\cdot e^{at} \longrightarrow \frac1{(s-a)^n}\) für \(n=1,2,3,\ldots\)

und vergiss den Faktor nicht.

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Super vielen dank.

In meinen Vorlesungsunterlagen finde ich leider nichts dazu, wenn man etwas Multipliziert oder so, immer nur für die Einzelfälle.

Wie nennen sich die Regeln, dann kann ich mir da was im Internet dazu angucken.Und vielleicht eine Paar Regeln für die Klausur rausschreiben.

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Naheliegenderweise Laplace-Transformationsregel. Rausschreiben brauchst Du da nichts, nur suchen im Internet und runterladen.

Beachte aber die Def. der LT, die ist nicht einheitlich. Sonst erwischt Du die falschen Regeln. Achte auf jedes Detail. Die von mir erwähnte Regel basiert auf \(F(s)=\int\limits_0^\infty f(s) e^{-s\,t}\,dt\).

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Text erkannt:

\( t^{2} \circ \bullet \frac{2!}{s^{2+1}}, \quad e^{-2 t} t^{2} \circ \bullet \frac{2}{(s+2)^{3}} \)

So letzte frage ;)

wie wäre es bei diesem Beispiel?

Ich hatte mich zuerst gefreut, dass es das Bespiel von eben wäre, aber ist es ja nicht, denn sonst müsste es ja (t^2)/(2) *… sein, nur hier haben wir ja t^2.

Da ja die Potenz und Nenner (ohne Fakultät) gleich sein müssen bei t oder?

Hab dazu nichts gefunden.

Vielen vielen Dank und noch einen schönen Abend.

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Dann schreibe es als \(\frac{2t^2}{2}\) und frage dich, wo dann wohl die 2 im Zähler herkommt. ;)