Aloha :)
Mach dir zunächst klar, was die Werte in der Matrix bedeuten:$$M=\left(\begin{array}{c|c} & \text{vorher}\\\hline\text{nachher} & \begin{array}{c|ccc} & W & T & H\\\hline W & 0,8 & 0,2 & 0,2\\T & 0,1 & 0,2 & 0,4\\H & 0,1 & 0,6 & 0,4\end{array} \end{array}\right)$$
Hier ein paar Lesebeispiele:
Nach einem Jahr sind 80% der Tiere vom Wald im Wald geblieben.
Nach einem Jahr sind 60% der Tiere vom Tal in die Hügel gegangen.
Nach einem Jahr sind 20% der Tiere von den Hügeln in den Wald gewandert
Die Verteilung der Tiere nach \(n\) Jahren können wir durch einen Zustands-Vektor \(\vec v_n\) darstellen, wobei der Startzustand \(\vec v_0\) dadurch gegeben ist, dass zu Beginn 180 Tiere in dem Waldgebiet ausgesetzt werden:$$\vec v_n=\begin{pmatrix}w_n\\t_n\\h_n\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_0=\begin{pmatrix}180\\0\\0\end{pmatrix}$$
zu a) Hier reichen zwei einfache Matrix-Multiplikationen:$$\vec v_1=M\cdot\vec v_0=\left(\begin{array}{ccc}0,8 & 0,2 & 0,2\\0,1 & 0,2 & 0,4\\0,1 & 0,6 & 0,4\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}180\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}144\\18\\18\end{pmatrix}$$$$\vec v_2=M\cdot\vec v_1=\left(\begin{array}{ccc}0,8 & 0,2 & 0,2\\0,1 & 0,2 & 0,4\\0,1 & 0,6 & 0,4\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}144\\18\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}122,4\\25,2\\32,4\end{pmatrix}$$
zu b) Wenn die Verteilung der Tiere im Gleichgewicht ist, ändert sich der Zustands-Vektor \(\vec v\) bei einem Übergang ins nächste Jahr nicht mehr. Das führt uns auf ein Gleichungssystem:$$\small\vec v=M\cdot\vec v\implies\begin{pmatrix}w\\t\\h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8w+0,2t+0,2h\\0,1w+0,2t+0,4h\\0,1w+0,6t+0,4h\end{pmatrix}\implies\left\{\begin{array}{c}-0,2w+0,2t+0,2h=0\\+0,1w-0,8t+0,4h=0\\+0,1w+0,6t-0,6h=0\end{array}\right\}$$
Die Lösung ist:\(\quad\vec v\approx\left(90|37,5|52,5\right)^T\).
Die beiden nächsten Aufgaben sind für einen Automaten optimal:$$\text{zu c)}\quad v_{10}=M^{10}\cdot\begin{pmatrix}180\\0\\0\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}90,5442\\37,2959\\52,1599\end{pmatrix}$$$$\text{zu d)}\quad v_{10}=M^{10}\cdot\begin{pmatrix}60\\60\\60\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}89,8186\\37,5680\\52,6134\end{pmatrix}$$
Der Vergleich mit dem Gleichgewichtszustand und die Interpretation sollte nun einfach möglich sein ;)