Bestimmen Sie die Übergangsmatrix A und damit die Verteilung nach einem Jahr bzw nach zwei Jahren, wenn die …

Question

Aufgabe:

Das Diagramm beschreibt bei einer Kreuzung den jährlichen Übergang der Blütenfarben pink \( (p) \), rot \( (r) \) und weiß \( (w) \) von einer Generation zur nächsten. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix A und damit die Verteilung nach einem Jahr bzw. nach zwei Jahren, wenn die Verteilung der Pflanzen zu Beginn beschrieben wird durch

\( \vec{x}_{0}^{\top}=\left(\begin{array}{lll}p & r & w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}4000 \quad 4000 \quad 4000\end{array}\right) \).

Interpretieren Sie die Matrix \( \mathrm{A}^{2} \) ohne sie zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Answer 1

\( \overrightarrow{x_1} = \left[\begin{array}{ccc}0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 & 0 \\ 0.25 & 0 & 0.5\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}4000 \\ 4000 \\ 4000\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}6000 \\ 3000 \\ 3000\end{array}\right] \)

\( \overrightarrow{x_2} = \left[\begin{array}{ccc}0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 & 0 \\ 0.25 & 0 & 0.5\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}6000 \\ 3000 \\ 3000\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}6000 \\ 3000 \\ 3000\end{array}\right] \)

A² beschreibt direkt den Übergang von einem Jahr ins übernächste Jahr.