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Hallo Mathefreunde,
könnt Ihr mir bitte bei diesem Problem helfen?

Gegeben ist die Übergangsmatrix M (zeilenweise gelesen)

0,4|0,2|0,6

0,4|0,8|0

0,2|0|0,4

Sie ist also spaltenstochastisch.
Wenn ich mit ihr die Verteilung 1

500

200

300

multipliziere, erhalte ich die neue Verteilung 2

420

360

220

Angenommen, ich habe diese neue Verteilung 2 und möchte mit Hilfe der Übergangsmatrix die alte Verteilung 1 bestimmen, sollte es m. W. zwei Möglichkeiten geben:
a) Multiplikation der Verteilung 2 mit der Inversen von M

b) Aufstellung eines Gleichungssystems:

M * (x|y|z) = Verteilung 2, also (420|360|220)

Mein Problem:

Bei Anwendung der Möglichkeit b) lässt sich das lineare Gleichungssystem weder per Hand noch per Taschenrechner lösen - ich glaube, das nennt man unterbestimmt.

Woran liegt das? Ich habe hin- und hergerechnet, bin aber zu keiner Lösung gekommen.

Hat M keine Inverse? Wenn nein, kann man das der Matrix M ansehen? Gibt es eine andere Möglichkeit, von Verteilung 2 auf Verteilung 1 zu schließen?

 
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1 Antwort

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Beste Antwort
Die Matrix hat keine Inverse. Die Matrix ist linear abhängig. Das sieht man so direkt nicht. Aber die Determinante der Matrix ist Null. Daran könnte man es sehen. Ebenso siehst du es, wenn du das Gleichungssystem lösen willst und sich eine Gleichung komplett aufhebt, weil sie linear abhängig ist.

Wenn du das Gleichungssystem löst kannst du z.b. c frei wählen und erhältst dann für a und b die Lösungen

a = 1100 - 2·c ∧ b = c - 100

Die Lösungsvektoren lauten also

[1100 - 2·c, c - 100, c]

Damit b >= 0 ist muss c >= 100 sein.
Damit a >= 0 ist muss c <= 550 sein.

c kann also frei im Bereich von 100 bis 550 gewählt werden.

Wir würden also z.B. folgende Lösungen erhalten können.

[900, 0, 100;
800, 50, 150;
700, 100, 200;
600, 150, 250;
500, 200, 300;
400, 250, 350;
300, 300, 400;
200, 350, 450;
100, 400, 500;
0, 450, 550]
Avatar von 487 k 🚀
Wann ist denn eine Matrix linear abhängig?
Naja. Eigentlich sind hier die Zeilen in der Matrix linear abhängig.

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