a) Begründen Sie, dass im Allgemeinen n + 1 Punkte ein Polynom n-ten Grades eindeutig festlegen.
Ein Polynom n. Grades hat n + 1 Koeffizienten. Um diese Koeffizienten eindeutig zu bestimmen, braucht man ein lineares Gleichungssystem mit n + 1 Gleichungen und Unbekannten.
b) Zeigen Sie am Beispiel von drei Punkten, dass es manchmal auch ein Polynom mit niedrigerem Grad gibt.
Hat man drei Bedingungen für drei Punkte, die auf einer Geraden liegen, kann man als Ansatz ein Polynom 2. Grades wählen. f(x) = ax² + bx + c. Als Lösung ergibt sich dann aber a = 0, sodass eine lineare Gleichung auslangt.
Wenn also mind, der Leitkoeffizient null ist, ergibt sich ein Polynom niedrigeren Grades.
c) Zeigen Sie am Beispiel der drei Punkte A (2|3), B (-1|2) und C (2|- 1), dass es manchmal auch kein Polynom vom Grad 2 gibt
f(2) = 3 und f(2) = -1 sind zwei Bedingungen, die sich widersprechen. Eine Funktion ordnet jedem x der Definitionsmenge nur genau ein y aus der Wertemenge zu. D.h. zu x = 2 kann es nur maximal einen Funktionswert geben. Es gibt also hier gar kein Polynom egal von welchem Grad es wäre.
d) Zeigen Sie am Beispiel der Punkte A (0|0) und B (2|0), dass es zu zwei Punkten unendlich viele quadratische Funktionen gibt.
Man hat hier nur 2 Bedingungen und damit kann man von einem Polynom 2. Grades 2 Koeffizienten in Abhängigkeit des dritten Koeffizienten bestimmen. Zur Bestimmung aller 3 Koeffizienten bräuchte man mind. 3 Bedingungen.
Ansatz
f(x) = ax^2 + bx + c
Bedingungen und Gleichungen
f(0) = 0 --> c = 0
f(2) = 0 --> 4·a + 2·b + c = 0 --> 4·a + 2·b = 0 --> b = - 2·a
Lösung
f(x) = ax^2 - 2ax = ax(x - 2) sind also alle Polynome welche die Nullstellen 0 und 2 haben. Für a ≠ 0 hat man also unendlich viele quadratische Funktionen.
