Wo steckt der Denkfehler dieser Lösung?
Zwei Funktionen berühren sich wenn Funktionswerte und steigungen an einer Stelle x identisch sind. Es muss also gelten
f(x) = g(x) und f'(x) = g'(x)
Nur weil zwei Funktionen an einer Stelle die gleiche Steigung haben, müssen sie sich nicht berühren.
Sonst würden sich f(x) = x^2 und g(x) = x^2 + 1 in allen Punkten berühren, weil für alle x die Steigungen gleich sind.
Hier eine Lösung Hilfe der Mittelstufenmathematik ohne Ableitung:
Wir setzen die Funktionen gleich
f(x) = g(x)
0.5·x^2 + x + t = t·x + t
0.5·x^2 + (1 - t)·x = 0
x·(0.5·x + (1 - t)) = 0
Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es jetzt 2 Lösungen.
x = 0
0.5·x + (1 - t) = 0 --> x = 2·t - 2
Die Graphen berühren sich, wenn wir eine doppelte Lösung für x = 0 haben und damit muss 2·t - 2 = 0 oder t = 1 gelten.