Wo steckt der Denkfehler?

Question

Gegeben sind eine Parabel mit der Gleichung f(x)=0,5x²+x+t und eine Gerade mit der Gleichung g(x)=tx+t für eine geeignete Zahl t. Wie muss t gewählt werden, damit Gerade und Parabel genau einen Punkt gemeinsam haben?

Die Frage bezieht sich auf folgenden Lösungsweg:

Bei Berührung müssen die Steigungen im Berührpunkt gleich sein, also gelten: t=x+1.

Wo steckt der Denkfehler dieser Lösung?

Answer 1

Bis jetzt ist da kein Fehler, aber auch noch keine Lösung.

Die Lösung ergibt sich durch das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}f(x) &= g(x)\\f'(x)&=g'(x)\end{aligned}\)

Die Gleichung \(t=x+1\) ist nur eine der Glecihungen des Gleichungssystems.

Answer 2

Eine Tangente liegt nur im Fall \(t=1\) im Punkt \((0|1)\) vor. Sonst handelt es sich um eine Sekante. Der Denkfehler besteht also darin, dass nicht berücksichtigt wird, dass die Funktionswerte an der Berührstelle ebenfalls gleich sein müssen. das führt dann auf ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, welches eindeutig lösbar ist.

Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt aber die Existenz einer solchen Tangente, deren Berührstelle zwischen den beiden Schnittstellen der Geraden mit der Parabel liegt.

Answer 3

Wo steckt der Denkfehler dieser Lösung?

Zwei Funktionen berühren sich wenn Funktionswerte und steigungen an einer Stelle x identisch sind. Es muss also gelten

f(x) = g(x) und f'(x) = g'(x)

Nur weil zwei Funktionen an einer Stelle die gleiche Steigung haben, müssen sie sich nicht berühren.

Sonst würden sich f(x) = x^2 und g(x) = x^2 + 1 in allen Punkten berühren, weil für alle x die Steigungen gleich sind.

Hier eine Lösung Hilfe der Mittelstufenmathematik ohne Ableitung:

Wir setzen die Funktionen gleich

f(x) = g(x)

0.5·x^2 + x + t = t·x + t

0.5·x^2 + (1 - t)·x = 0

x·(0.5·x + (1 - t)) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es jetzt 2 Lösungen.

x = 0

0.5·x + (1 - t) = 0 --> x = 2·t - 2

Die Graphen berühren sich, wenn wir eine doppelte Lösung für x = 0 haben und damit muss 2·t - 2 = 0 oder t = 1 gelten.

Comments

Nach einer Lösung war gar nicht gefragt und du wiederholst mal wieder nur das, was andere schon genannt haben.