Welchen Flächeninhalt hat das Trapez?

Question

ABCD sei ein Trapez mit rechten Winkeln bei A und bei D. E liege auf BC. ABE ist gleichseitig. DEC ist gleichschenklig. Welchen Flächeninhalt hat ABCD in Abhängigkeit von a=|\( \overline{AB} \)|?

Comments

Hier mal eine unschöne Lösung in Handarbeit: Legt man in den Punkt A ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dann hat der Punkt C die Koordinaten mit (\(|DC|=:b,|AD|=:h\)):

$$\begin{pmatrix} a\\0\end{pmatrix}+(a+b)\begin{pmatrix}-1/2 \\ \sqrt{3}/2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b\\h \\\end{pmatrix}$$

Es folgt \(b=a/3\) und \(h=2a/\sqrt{3}\) und schließlich für die Trapezfläche

$$h \frac{a+b}{2}=\frac{4}{3\sqrt{3}}a^2$$

Answer 1

7*√3/32*a^2  ???

Fülltext

Comments

Mit einem geeigneten Koordinatengitter

ergibt sich leicht eine Fläche von (4√3/9)a^2.

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simple mind: Leider falsch. Die Ursache es Fehlers ist nicht feststellbar.

hj2166: genial, aber kein Mitglied der mathelounge hat jetzt noch Spaß an der Aufgabe.

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aber kein Mitglied der mathelounge hat jetzt noch Spaß an der Aufgabe.

kann man so nicht sagen, es gibt viele Wege nach Rom und bei so einer Aufgabe viele Möglichkeiten, sie zu lösen.

Das Trapez lässt sich auch in zwei ähnliche rechtohrige Drachen zerlegen

wegen $$\frac{|M_dE|}{|BE|} = \frac{|EC|}{|M_dE|} = \frac{1}{3}\sqrt{3}$$ist die Fläche \(F\) des Trapez$$F= |M_dE|\left(|BE| + |EC|\right) = \frac{a}{3}\sqrt{3}\left(a+\left( \frac{1}{3}\sqrt{3}\right)^2a\right) = \frac{4}{9}\sqrt{3}\, a^2$$

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Werner, auch deine Lösung ist sehr schön. Und du hast recht: Man kann es als Herausforderung sehen, andere Lösungswege zu finden.

Übrigens: 'Leider falsch' richtet sich an simple mind und nicht an hj2166.

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rechtohrige Drachen

Offensichtlich ist das ein Ausdruck dafür, dass die symmetrischen Winkel rechtwinklig sind. Ist das ein offizieller Ausdruck oder von dir erfunden? Mein Freund Google findet den Begriff nicht.

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viele Wege nach Rom

z.B.

Es ist √(u^2+v^2)+u = a wegen der Gleichschenkligkeit von ΔAEF. Zusammen mit v/u = √3 ergibt sich daraus u=a/3 , v=a/√3 und A_Trapez = A_ΔABF - A_ΔDCF = ((a/u)^2-1)*A_ΔDCF = 8*uv/2 = (4√3/9)a²

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Mathecoach, welch eine Frage zu dieser sehr gelungenen und (im Zusammenhang) völlig eindeutigen Wortschöpfung.

hj2166, danke auch für diese schöne Lösung. Hoffentlich werden noch weitere Varianten geliefert.

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Offensichtlich ist das ein Ausdruck dafür, dass die symmetrischen Winkel rechtwinklig sind. Ist das ein offizieller Ausdruck oder von dir erfunden?

... ist von mir erfunden. Aber anscheinend ist die Namensgebung 'rechtohriger Drache' ja allgemein verständlich ;-)

Hinweis: der rechtohrige Drache ist der einzige Drache mit einem Umkreis. Also ist er auch ein Sehnenviereck.

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kein Mitglied der mathelounge hat jetzt noch Spaß an der Aufgabe

Dann solltest du in Zukunft dazuschreiben, dass Lösungen deiner Aufgaben unerwünscht sind.

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hj2166, die Bemerkung 'kein Mitglied der mathelounge hat jetzt noch Spaß an der Aufgabe' nehme ich mit ausdrücklichem Bedauern zurück. Das habe ich bereits gegenüber Werner deutlich gemacht.

Warum verpackst du deine Lösungen grundsätzlich in Kommentare und nie in Antworten?

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Ich wollte sm zeigen, dass seine Lösung falsch ist, ihm somit die Möglichkeit geben, seinen Fehler zu suchen, zu finden, zu korrigieren und dann mit einer "besten Antwort" (weil einzigen) zu punkten.

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hj2166, jetzt verstehe ich.

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wie würde ein Schüler der 6. oder 7. Klasse dies lösen?

Bekannt sind der Pythagoras und die Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks. Also teile man das Trapez durch eine Senkrechte durch \(C\) auf \(a\) in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck:

\(\triangle FBC\) ist wegen \(\angle CBA = 60°\) (gelb) die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks. Daraus folgt$$2(a-c) = b = a+c \implies c = \frac{a}{3}$$Und der Pythagoras auf \(\triangle FBC\) angewendet gibt$$\begin{aligned}d^2 + (a-c)^2 &= b^2 = (a+c)^2\\ d^2 + \left(\frac{2}{3}a\right)^2 &= \left(\frac{4}{3}a\right)^2\\ \implies d &= \frac{2}{3}\sqrt{3}\, a\end{aligned}$$Und die Trapezformel sollte auch bekannt sein$$F = d \frac{a+c}{2} = \frac{2}{3}\sqrt{3}\, a \cdot \frac{2}{3}a = \frac{4}{9}\sqrt{3}\,a^2$$

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wie würde ein Schüler der 6. oder 7. Klasse dies lösen?

Ich weiß ja nicht, aus welchem Jahrhundert du stammst, aber Pythagoras und Wurzeln sind sicherlich nicht Teil des Lehrplans in der 6. bzw. 7. Klasse.

Und selbst wenn diese Dinge bekannt wären, würde das vielleicht einer von 1000 lösen. Derjenige wäre entweder hochbegabt oder hätte einen Mathematikprofessor als Elternteil. Bleiben wir doch bitte realistisch.

Answer 2

\(F=\frac{8}{9}\cdot \sin(60°)\cdot \overline{AB}^2\) oder

\(F=\frac{4}{3}\cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \overline{AB}^2\)

Comments

Karl, das wäre eine schöne Lösung, wenn der Ansatz nicht vom Himmel fiele.

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Warum verpackst du deine Lösungen grundsätzlich in Kommentare und nie in Antworten?

Ich hätte da eine mögliche Antwort (Verzeihung, einen Kommentar):

Er ist nicht punktegeil.

Answer 3

\(\tan(30°)= \frac{ \overline {AM}}{a}\) 

\(\overline {AM}=\frac{1}{3}\sqrt{3} \cdot a\)

\(\overline {AD}=\frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot a\)

Gerade durch B \((a|0)\) und C:

\(\tan(120°)= -\sqrt{3}\)

\( \frac{y-0}{x-a}= -\sqrt{3} \)

\( y=-\sqrt{3}(x-a) \)

Schnitt mit \(y=\frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot a\)

\( \sqrt{3}(a-x)=\frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot a \)

\(a-x=\frac{2}{3} \cdot a \)

\(x=\frac{1}{3}a \)

C\((\frac{1}{3}a|\frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot a)\)

Fläche des Trapez:

 \(A= \frac{1}{2}(a+\frac{1}{3}a)\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3} \cdot a=\frac{4}{9}\sqrt{3} \cdot a^2\)

Bemerkung: Die Berechnung der Mittelsenkrechten ( oder auch der Winkelhalbierenden durch \(β\)) durch A und E habe ich mir geschenkt.