Trapez Flächeninhalt in Abhängigkeit von x

Question

Aufgabe:

Die Punkte A, B, C, und D auf der Parabel p bilden eine Menge von Vierecken ABCnD. Die Punkte Cn bewegen sich dabei zwischen B und D. Form und Flächeninhalt der Vierecke hängen von der Abszisse x (x-Koordinate) der Punkte Cn ab. Es gilt: A (-4|-3); B (6|2); Cn (xly); D(-2|2); p mit y=-0,25x² + x+ 5

a) Fertige eine Zeichnung für x=4 an. Welches besondere Viereck entsteht? Bestätige durch Rechnung.

b) Berechne den Flächeninhalt A der Vierecke in Abhangigkeit von x. [Ergebnis: A(x) -(-x' + 4x + 32) FEJ

c) Ermittle den größten Flächeninhalt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die b) und die c) nicht. Das Viereck ist ein Trapez.

Answer 1

Hallo,

b) Berechne den Flächeninhalt A der Vierecke in Abhangigkeit von x.

Teile das Viereck entlang der Diagonalen \(BD\) in zwei Dreiecke.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist \(F=\frac 12 gh\), wenn \(g\) eine (Grund-)Seite und \(h\) die zugehörige Höhe ist. Die Grundseite ist immer \(g = x_B-x_D = 8\). Die Höhe des unteren Dreiecks ist \(5\) und konstant. Und die Höhe des oberen Dreiecks ist \(y(x)-2\). Also ist der Flächeninhalt \(A\) des Vierecks:$$\begin{aligned} A(x) &= \frac 12 \cdot 8 \cdot 5 + \frac 12 \cdot 8 \cdot (y(x)-2) \\ &= 20 + 4(-0,25x^{2} + x+ 3) \\ &= -x^2 + 4x + 32 \end{aligned}$$

c) Ermittle den größten Flächeninhalt.

\(A\) ist dann am größten, wenn die Höhe (rot) des blauen Dreiecks maximal ist. Also im Scheitelpunkt der Parabel bei \(x=2\).

Answer 2

b) Die Strecke DB zerlegt das Viereck ABC_nD in zwei Dreiecke deren Flächeninhalt zusammen 20+4(-0,25x²+x+3) ist.

c) Der größte Flächeninhalt entsteht für Cn(2|6) im Scheitel der Parabel.