Funktionen auf Injektivität, Sujektivität und Bijektivität untersuchen

Question

Ich muss die folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijäktivität untersuchen:

a) f: ℝ→ℝ; x↦f(x)= x²

b) f: ℝ⁺→ℝ⁺; x↦ f(x)= x²

 

Answer 1

a) Die Funktion ist nicht injektiv, denn für x=2 und x=-2 gilt f(x) = 4, es existieren also zwei unterschiedliche x mit dem gleichen Funktionswert.

Die Funktion ist nicht surjektiv, denn die Gleichung x² = -4 besitzt keine Lösung im Definitionsbereich, obwohl 4 im Wertbereich liegt.

Also ist f auch nicht bijektiv.

 

b) Die Funktion ist injektiv und surjektiv, denn die Gleichung x² = c lässt sich auf ℝ⁺ eindeutig durch x = √c lösen.

Also ist die Funktion auch bijektiv.

Comments

Verstehe bei b) das mit x=√c nicht

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Also ich machs nochmal ausführlicher:

i) Eine Funktion heißt injektiv, wenn gilt:

Aus f(x) = f(y) folgt x=y.

Sei nun f(x) = f(y) = c.

Dann gilt also x² = c und y² = c.

Wegen der Einschränkung des Wertebereichs und Definitionsbereichs müssen x, y und c positive Zahlen sein, also besitzen beide Gleichungen nur eine Lösung nämlich

x = √c und y=√c.

Es gilt also x=y, was zu beweisen war.

ii) Eine Funktion heißt surjektiv, wenn gilt:

Für alle c aus dem Wertebereich existiert ein x aus dem Definitionsbereich, sodass f(x)=c gilt.

Der Wertbereich sind nun nur die positiven Zahlen, zu lösen ist also wieder die Gleichung

x² = c

Deren Lösung hatten wir eben schon aufgeschrieben, dabei ist es egal, wie groß c ist.

iii) Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Wir haben eben gezeigt, dass f surjektiv und injektiv ist, also ist sie auch bijektiv.