Hochpunkt bestimmen ist das möglich?

Question

Aufgabe:

wenn wir uns die Funktion 1/4x^4 - 2x^2 mit dem Def Bereich [-3;3] betrachten und Extrema suchen ist ja bei (-2/-4) bei Globaler Tiefpunkt und bei (2/-4) ebenfalls ein Globaler Tiefpunkt bei (0/0) ein Lokaler Hochpunkt

Frage:

wenn ich auf Randextrema prüfen will, muss ich ja in die Funktion einmal -3 und 3 eingeben und da die Funktion ja Achsensymetrisch ist kommt ja einmal f(3)= 2,25 und f(-3)=2,25 sind das beide dann globale Randhochpunkte bzw. ist es möglich, dass es 2 gleichzeitige Randhochpunkte gibt?

Answer 1

Alles richtig, was du sagst. Und ja, so wie es mehrere globale Minima geben kann, kann es auch mehrere globale Maxima geben. Die können auch beide am Rand liegen. Das folgt ja hier auch sofort aus der Symmetrie.

Es gibt sogar Funktionen mit unendlich vielen globalen Extrema:

Comments

Alles richtig, was du sagst. Und ja, so wie es mehrere globale Minima geben kann, kann es auch mehrere globale Maxima geben. Die können auch beide am Rand liegen. Das folgt ja hier auch sofort aus der Symmetrie.

Das entspricht alles nicht der üblichen Begriffsverwendung in der Schulmathematik!

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Und ein Randextreum muss nicht unbedingt ein Absoluter maximum oder minimum sein oder kann auch ein lokaler sein?

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Schränke deine Funktion doch mal auf den Definitionsbereich \([-2.5;2.5]\) ein. Wie schaut es dann am Rand aus?

@az:

Das entspricht alles nicht der üblichen Begriffsverwendung in der Schulmathematik!

Was ist dein Problem?

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Und ein Randextreum muss nicht unbedingt ein Absoluter maximum oder minimum sein oder kann auch ein lokaler sein?

Randextrema sind immer lokal (anders ausgedrückt: relativ), denn sonst wären sie keine. Sie können darüberhinaus auch global (absolut) sein.

Die Begriffspaare "lokal / global" und "relativ / absolut" werden häufig nicht sehr befriedigend verwendet.

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Die Begriffspaare "lokal / global" und "relativ / absolut" werden häufig nicht sehr befriedigend verwendet

Was sollte man am besten verwenden?

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Einverstanden. Ein globales/absolutes Extremum ist immer auch ein lokales/relatives Extremum.

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Na ja, vor allem ist in der Schulmathematik für gewöhnlich (leider nicht immer) ein Extremum ein Funktionswert, während ein Extrempunkt immer ein Punkt des Funktionsgraphen ist.