E(XY) Erwartungswert Produkt zweier Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Für b∈( \( \frac{1}{50} \)  , \( \frac{1}{15} \) ) sei die Verteilung des diskreten Zufallsvektors (X,Y) durch die folgende Tabelle gegeben:

X/Y	-2	0	2	pX
0	3b	2b	\( \frac{1}{3} \) - 5b	\( \frac{1}{3} \)
1	\( \frac{1}{2} \) - 3b	\( \frac{2}{9} \)	3b - \( \frac{1}{18} \)	\( \frac{2}{3} \)
pY	\( \frac{1}{2} \)	2b + \( \frac{2}{9} \)	-2b + \( \frac{5}{18} \)	1

Ich soll nun E(XY) berechnen. Da ja im allgemeinen nicht E(XY)=E(X)E(Y) gilt, sondern nur bei unabhängigen Zufallsvariablen, frage ich mich, wie ich das nun lösen soll. Ich habe in einem anderem Forum diese Formel mit zwei Summenzeichen gesehen, aber ich verstehe nicht, was sie aussagt, bzw. was man da jeweils wann einsetzen soll:

\( \sum\limits_{x}^{}{} \)  \( \sum\limits_{y}^{}{} \) x·y·f_x,y(x,y)

Es wäre nett, wenn mir jemand das Verfahren anhand dieses Beispiels erklären könnte.

Danke :)

Answer 1

Bestimme wie gewohnt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(Z=XY\) und wende dann die Formel für den Erwartungswert auf \(Z\) an.

Die Doppelsumme bedeutet lediglich, dass über alle Kombinationen von \(x\) und \(y\) summiert wird. Beachte, dass das Summenzeichen lediglich eine abkürzende Schreibweise ist. Wenn man die Summe einmal ausschreibt, dürfte es klarer werden:

\(\sum_i^n\sum_j^m i\cdot j=1\cdot 1+1\cdot 2 + \ldots +1\cdot  m + 2\cdot 1 + 2\cdot 2 +\ldots + 2\cdot m + 3\cdot 1+ \ldots \)

Comments

Danke! Das mit der Doppelsumme ist mir jetzt klarer.

Leider verstehe ich noch nicht, was du mit "Wahrscheinlichkeitsverteilung für Z=XY" meinst.

Also ich denke, es hängt damit zusammen, das ich nicht weiß, was das f xy aus der Formel ist :/

Also was man dafür einsetzt.

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Stichwort: gemeinsame Verteilung.