bedingte Erwartungswert zwei Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

1.X ist standardnormalverteilt Zufallsvariable, Y eine integrierbare ZV. Es gilt E[Y|X]=|X| fast sicher. Gesucht ist Erwartungswert von Y.

2. X,Y unabhängig, beide zu λ>1 exponentialverteilt Zufallsvariablen. Berechnen E[e^X + e^Y |X^3].

Problem/Ansatz:

1.Aufgabe habe ich so gemacht. Beide Seite noch mal Erwatungswert nehmen, nämlich E[E[Y|X]]=E[|X|], dann linke Seite ergibt sich Y, dann rechte Seite berechnen. Bin aber nicht sicher, ob die Idee richtig ist.

2. Aufgabe: erst Linearität der EW anwenden, ergibt sich E[e^X|X^3]+E[e^Y|X^3], und bei zweite Summand e^Y unabhängig von X. Folge gesucht=E[e^X|X^3]+E[e^Y], dann habe ich die Idee die erst Summand in Taylorreihe schreiben und dann weiter rechnen. Kriege ich leider nicht hin, bei E[e^Y] benutzt man vielleicht "Law of the unconscious statistician".

Hat jemand eine Idee ob meine Ansatz für 1.Aufgabe richtig ist, und wie man 2.Aufgabe lösen kann?

Vielen Danke im Voraus!

Malik

Answer 1

Hallo,

1. Du meintest sicherlich \(\mathbb E(Y)=\mathbb E(\mathbb E(Y|X))=\mathbb E(|X|)\). Dann stimmt die Idee und die rechte Seite lässt sich gut ausrechen.

2. Benutze wie du gesagt hast, dass \(\mathbb E(e^X+e^Y|X^3)=\mathbb E(e^X|X^3)+\mathbb E(e^Y)\) und den von dir genannten Satz für \(\mathbb E(e^Y)\).
Den ersten Summand musst du nicht als Taylor-Reihe schreiben. Benutze lieber, dass \(\mathbb E(f(Z)|Z)=f(Z)\) für reelwertige Zufallsvariable \(Z\) und Borel-messbare Funktion \(f\) gilt. Der Beweis davon ist relativ einfach, überprüfe dazu die Definition von \(\mathbb E(f(Z)|Z)\).

LG Dojima

Comments

Hallo

1. genau dass meine ich.

2. diese f ist mir schwer zu finden, könnten Sie noch ein paar Wort dazu sagen, um erst Summand richtig zu rechnen.

MfG Malik

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Benutze \(f(z)=e^{\sqrt[3]z}\)

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Hallo,

ist das Ergebnis gleich e^X?

MfG