Beweis Varianz = 1 und Erwartungswert = 0 bei Standardisierten Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Sei X eine (diskrete oder stetige) Zufallsvariable mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ. Weiter sei:

\(  Z = \frac{X - μ}{σ} \)

die zu X gehörende standardisierte Zufallsvariable.

Beweisen Sie E(Z) = 0 und Var(Z) = 1.

Problem/Ansatz:

Beweis für E(Z) = 0:

Die Rechenregeln dass man beliebige Konstanten rausziehen kann aus dem Erwartungswert hatten wir in der Vorlesung gegeben.

\(  E(Z) = E(\frac{X - μ}{σ} )  \Longrightarrow \frac{1}{σ} * (E(X)- μ) = \frac{1}{σ} * (E(X)- E(X)) \\ = \frac{1}{σ} * 0 = 0 \blacksquare  \)

Bei Beweis Var(Z) = 1 habe ich allerdings Probleme und komme nicht weiter:

\( Var(Z) = Var(\frac{X - μ}{σ} )  \Longrightarrow (E(\frac{X - μ}{σ} ) - μ)^2 \\ = (0 - μ)^2 = μ^2 \neq 1 \)

Answer 1

Aloha :)

Für die Varianz gilt allgemein$$(\ast)\quad \text{Var}\,(aX+b)=a^2\cdot\text{Var}\,(X)\quad;\quad a,b\in\mathbb{R}\quad;\quad X= \text{ Zufallsvariable}$$

Es lohnt sich zum Verständnis, das mit Hilfe der Linearität des Erwartungswertes, den wir im Folgenden durch spitze Klammern \(\left<\cdots\right>\) symbolisieren, zu zeigen:$$\text{Var}\,(aX+b)=\left<\left[(aX+b)-\left<aX+b\right>\right]^2\right>=\left<\left[(aX+b)-(a\left<X\right>+b)\right]^2\right>$$$$\quad=\left<\left[aX+b-a\left<X\right>-b)\right]^2\right>=\left<\left[aX-a\left<X\right>)\right]^2\right>=\left<a^2\left(X-\left<X\right>\right)^2\right>$$$$\quad=a^2\left<\left(X-\left<X\right>\right)^2\right>=a^2\cdot\text{Var}\,(X)$$

Zur Aufgabe:

$$\left<Z\right>=\left<\frac{X-\mu}{\sigma}\right>=\frac{1}{\sigma}\left(\left<X\right>-\mu\right)=\frac{1}{\sigma}\left(\mu-\mu\right)=0$$$$\operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=\operatorname{Var}\left(\frac{1}{\sigma}\,X-\frac{\mu}{\sigma}\right)\stackrel{(\ast)}=\frac{1}{\sigma^2}\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sigma^2}\cdot\sigma^2=1$$