Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen berechnen.

Question

Hi,

sitze grade vor der Aufgabe hier und hab keine Ahnung wie man hier vorgehen muss.
Kann mir jemand helfen und sagen wie man aus den beiden dichte Funktionen die Varianz und den Erwartungswert berechnet?
Bin für jede Antwort und jeden Ansatz sehr dankbar.

Aufgabe:

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der folgenden Zufallsvariablen.
a) Die Gamma(3,1)-verteilten Zufallsvariable \( X_{1} \) mit Dichte
$$ f_{\mathrm{Gamma}}(x)=\frac{1}{2} x^{2} \exp (-x) 1_{(0, \infty)}(x), x \in \mathbf{R} $$
b) Die Pareto-verteilten Zufallsvariable \( X_{2} \) mit \( k>2 \) und Dichte
$$ f_{\text {Pareto }}(x)=k\left(\frac{1}{x}\right)^{k+1} 1_{[1, \infty)}, x \in \mathbb{R} $$

Beste Grüße

Answer 1

Den Erwartungswert \(\mathrm{E}(X)\) eine Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion \(f\) berechnet man mittels

        \(\mathrm{E}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\).

Die Varianz \(\mathrm{Var}(X)\) eine Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion \(f\) berechnet man mittels

      \(\mathrm{Var}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty \left(x-\mathrm{E}(X)\right)^2f(x)\,\mathrm{d}x\).

Comments

Ok das habe ich verstanden aber was genau hat es jetzt mit der gamma Verteilung und der Pareto Verteilung auf sich? Also muss man da irgendwie anders vorgehen oder etwas beachten ?

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was genau hat es jetzt mit der gamma Verteilung und der Pareto Verteilung auf sich?

Den Erwartungswert \(\mathrm{E}(X)\) eine Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion

        \(f_\mathrm{Gamma}(x) = \frac{1}{2}x^2\exp(-x)\mathbb{1}_{(0,\infty)}, x\in\mathcal{R}\)

berechnet man mittels

        \(\mathrm{E}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot\frac{1}{2}x^2\exp(-x)\mathbb{1}_{(0,\infty)}\mathrm{d}x\).

Die Varianz \(\mathrm{Var}(X)\) eine Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion

        \(f_\mathrm{Gamma}(x) = \frac{1}{2}x^2\exp(-1)\mathbb{1}_{(0,\infty)}, x\in\mathcal{R}\)

berechnet man mittels

      \(\mathrm{Var}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty \left(x-\mathrm{E}(X)\right)^2\cdot \frac{1}{2}x^2\exp(-1)\mathbb{1}_{(0,\infty)}\mathrm{d}x\).

Also muss man da irgendwie anders vorgehen oder etwas beachten ?

Man muss beachten, dass in meiner ursprünglichen Antwort die Formel für den Erwartungswert falsch war und diese jetzt korrigiert ist.

Darüber hinaus gibt es so viele Möglichkeiten, Fehler zu machen, dass ich hier nicht auf jeden einzelnen eingehen kann.

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Alles klar danke, nur noch eine Frage kann ich für die Pareto verteilte Funktion die gleichen Formeln benutzen ?

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Die Formel kann für jede Dichte genommen werden, die Riemann-Integrierbar ist.