Sieht alles richtig aus, mit den Summen würde ich aber auch nicht weiterwissen. Stattdessen schlage ich einen Ansatz mit etwas Kombinatorik vor:
Welche möglichen Werte kann \(d=|x-y|\) annehmen für \(x,y\in\{1,2,...,n\}\)? Offensichtlich ist \(d\in\{0,1,...,n-1\}\)
Wieviele Möglichkeiten gibt es für \(d=0\)?
\(n\) Möglichkeiten natürlich.
Für \(d=1\)?
Für die Auswahl der erste Ziffer gibt es n Möglichkeiten, die zweite Ziffer muss dann einer der Nachbarn sein, also gibt es nur 2 Möglichkeiten. Allerdings haben die erste und die letzte Ziffer (1 und n) jeweils nur einen gültigen Nachbarn, also müssen wir 2*1 abziehen. Ergibt also: \(2n-2\cdot1\)
Für \(d=2\)?
Für die erste Ziffer wiederum n Möglichkeiten, die zweite Ziffer muss dann einer der um 2 entfernten Nachbarn sein, also auch wieder 2 Möglichkeiten. Allerdings haben die ersten beiden Ziffern an jedem "Rand" (1,2, n-1 und n) jeweils nur einen gültigen Nachbarn, also müssen wir 2*2 abziehen. Ergibt also: \(2n-2\cdot2\)
Für ein beliebiges \(d\in\{1,2,...,n-1\}\) ergeben sich also jeweils \(2n-2d\) Möglichkeiten, diese Differenz zu erhalten. Die Möglichkeiten für \(d=0\) können ignoriert werden, da diese eh nichts zur Summe beitragen.
Damit ergibt sich zusammmen mit deiner Erkenntnis, dass \(p(x,y)=\frac{1}{n^2}\) für alle \(x,y\in\{1,2,...,n\}\) ist:
$$\begin{aligned}\frac {1}{n^2}\sum_{(x,y):p(x,y)>0}|x-y|&=\frac {1}{n^2}\sum_{d=1}^{n-1}d\cdot (2n-2d)\\[10pt] &=\frac {1}{n^2}\left(2n\cdot\sum_{d=1}^{n-1}d-2\cdot \sum_{d=1}^{n-1} d^2\right)\\[10pt] &=\frac{1}{n^2}\left(2n\cdot \frac{(n-1)n}{2}-2\cdot\frac{(n-1) n (2(n-1)+1)}{6}\right)\\[10pt] &=n-1 -\frac{(n-1)(2n-1)}{3n}\\[10pt] &=\frac{3n^2-3n \quad - \quad2n^2+n+2n-1}{3n}\\[10pt] &=\frac{n^2-1}{3n}=\frac{(n-1)(n+1)}{3n} \end{aligned}$$
